Hasil Kali Vektor dengan Skalar Vektor Posisi dan Vektor Basis di Ruang Dimensi Dua
64
Pada R3, jika
w u v
, maka
u v
u v
u v
u v
u v
u v
x x
x x
w y
y y
y z
z z
z
Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor adalah vektor nol
di
, dan vektor nol
di . Sehingga untuk sebarang vektor
a
berlaku
a a
a
. Lawan dari vektor
s s
x s
y
di adalah vektor
s s
x s
y
Lawan dari vektor
u u
u
x u
y z
di
adalah vektor
u u
u
x u
y z
c.
Pengurangan vektor Seperti halnya penjumlahan vektor, pengurangan vektor dapat dilakukan dengan
mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. Pada
, jika
r s t
, maka
s t
s t
s t
s t
x x
x x
r y
y y
y
Pada , jika
w u v
, maka
u v
u v
u v
u v
u v
u v
x x
x x
w y
y y
y z
z z
z
d.
Perkalian vektor dengan bilangan skalar Pada
, hasil kali skalar m dengan
s s
x s
y
adalah
s s
m x ms
m y
.
Pada , hasil kali skalar m dengan
u u
u
x u
y z
adalah
u u
u
m x mu
m y m z
.
Modul Pelatihan Matematika SMA
65
Perkalian skalar dengan vektor memenuhi sifat-sifat berikut. Diketahui m dan n bilangan riil,
u
dan
v
suatu vektor maka berlaku:
m u
m u mu
m nu mn u
m n u mu nu
m u v
mu mv
Contoh:
1. Diketahui vektor
3 2
a
, vektor
4 1
b
dan vektor
2 1
c
, berlaku
hubungan
2 3
4 a
b nc
dengan n bilangan real. Tentukan nilai n. Jawab.
Diketahui:
2 3
4 a
b nc
Maka berlaku: 3
4 2
2 3
2 1
1 4
6 12
2 4
3 4
6 12 2
4 3 4
6 2
7 4
n n
n n
n n
n
Dengan aturan kesamaan dua vektor, berlaku:
6 2 n
atau
7 4
n
, dipenuhi untuk
3 n
.
66
2. Diketahui titik 4,1, 5
P dan titik 1,7, 14
Q
. Titik R titik pada garis hubung
PQ
sehingga 1
3 PR
PQ
.
a.
Tentukan
PQ
dan PR dalam bentuk kombinasi linear vektor satuan.
b.
Tentukan koordinat titik R. Jawab
a.
PQ = 1 4
3 7 1
6 14 5
9
q p
q p
q p
x x
y y
z z
Jadi
PQ
=
3 6
9
i
j k
3 1
1 1
6 2
3 3
9 3
PR PQ
Jadi PR =
3
i j
k
b.
Untuk menentukan koordinat titik R, misalkan koordinat R adalah , , x y z ,
maka vektor posisi x
OR r
y z
. Dari hasil yang diperoleh sebelumnya,
1 2
3 PR
sehingga berlaku: