66
2. Diketahui titik 4,1, 5
P dan titik 1,7, 14
Q
. Titik R titik pada garis hubung
PQ
sehingga 1
3 PR
PQ
.
a.
Tentukan
PQ
dan PR dalam bentuk kombinasi linear vektor satuan.
b.
Tentukan koordinat titik R. Jawab
a.
PQ = 1 4
3 7 1
6 14 5
9
q p
q p
q p
x x
y y
z z
Jadi
PQ
=
3 6
9
i
j k
3 1
1 1
6 2
3 3
9 3
PR PQ
Jadi PR =
3
i j
k
b.
Untuk menentukan koordinat titik R, misalkan koordinat R adalah , , x y z ,
maka vektor posisi x
OR r
y z
. Dari hasil yang diperoleh sebelumnya,
1 2
3 PR
sehingga berlaku:
Modul Pelatihan Matematika SMA
67
1 4
2 1
3 5
1 4
2 1
3 5
PR OR OP
x y
z x
y z
Menggunakan kesamaan dua vektor, berlaku:
4 1
3 x
x
1 2
3 y
y
5 3
8 z
z
Jadi koordinat titik R adalah 3,3, 8 .
7. Panjang Vektor
Besar atau panjang vektor PQ dinotasikan dengan PQ .
Pada R2, misalkan ,
p p
P x y
dan ,
q q
Q x y . Diperoleh PQ =
q p
q p
x x
y y
. Dari komponen-komponen vektor
PQ , ditentukan panjang atau besar vektor PQ dirumuskan sebagai berikut.
2 2
q p
q p
PQ x
x y
y
Jika diketahui vektor p =
1 1
x y
, maka:
2 2
1 1
p x
y
Pada R3, panjang atau besar vektor
RS
dirumuskan sebagai berikut.
2 2
2 s
r s
r s
r
RS x
x y
y z
z
68
dengan
, ,
r r
r
R x y z
dan
, ,
s s
s
S x y z
titik-titik di dalam ruang.
Jika diketahui vektor r =
1 1
1
x y
z
, maka:
2 2
2 1
1 1
r x
y z
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari
r adalah vektor yang arahnya sama dengan arah vektor
r dan panjangnya
1 r
.
Jadi, vektor satuan dari r adalah
r r
.
Contoh
1.
Diketahui 7
8
a
i j
k dan 3
2 4
b
i j
k dan
c a b
. Tentukan panjang vektor
a
, vektor
b
dan vektor
c
. Jawab
Panjang vektor
a
= a =
2 2
2
7 1
8 49 1 64
114
satuan Panjang vektor
b
= b =
2 2
2
3 2
4 9
4 16 29
satuan
c a b
= 7
1 8
+ 3
2 4
= 10
3 12
Panjang vektor
c
= c =
2 2
2
10 3
12 100
9 144 253
satuan
2.
Diketahui vektor 2
3 6
r
. Tentukan vektor satuan dari vektor
r .
