Panjang Vektor Uraian Materi
72
skalar dari vektor
a
pada vektor
b
juga menyatakan panjang proyeksi dari vektor
a
pada arah vektor
b
. Perhatikan kembali pada gambar. Vektor
c
merupakan proyeksi vektor
a
pada arah vektor
b
. Vektor
c
dinamakan proyeksi vektor ortogonal atau proyeksi vektor dari vektor
a
pada arah vektor
b
. Proyeksi skalar dari vektor
a
pada arah vektor
b
, ditentukan oleh: cos
c a
Substitusi nilai
cos a b
a b
, diperoleh:
a b c
b
Proyeksi vektor dari vektor
a
pada arah vektor
b
, ditentukan oleh:
c c e
dengan
e
adalah vektor satuan dari vektor
c
. Karena vektor
c
searah dengan vektor
b
, maka vektor satuan dari vektor
c
sama dengan vektor satuan dari vektor
b
. Ingat kembali, vektor satuan dari vektor
b
ditentukan oleh:
b
e b
Apabila
a b c
b
dan
b
e b
disubstitusikan ke
c c e , diperoleh
a b b
c c e
b b
Modul Pelatihan Matematika SMA
73
2
a b c
b b
Contoh:
1.
Diketahui titik 2,3, 1 A
dan 2, 4,3 B
dan vektor
ˆ 4
3 p
i j k
. a.
Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor p pada arah AB b.
Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor
p
pada arah AB
2.
Diketahui titik 1, 2, 2
A ,
0,1, 0 B
dan 2, 1, 1
C . Tentukan proyeksi vektor
ortogonal AB pada arah
AC
dan proyeksi vektor ortogonal
AC
pada arah AB
. Jawab
1. 2
2 4
4 3 7
3 1 4
AB
,
4 3
1 p
p AB
=
4 4 7
3 4 1
= 9
2 2
2
4 7
4 81
9 AB
a. Misal c adalah proyeksi skalar ortogonal vektor p pada arah AB .
9 1
9 p AB
c AB
Jadi proyeksi skalar ortogonal vektor
p
pada arah AB adalah 1.
b. Misal
c
proyeksi vektor ortogonal vektor p pada arah AB .
74
2 2
4 9
4 9
7 7
9 9
4 4
9 p AB
c AB
AB
Jadi proyeksi vektor ortogonal vektor
p
pada arah AB adalah
4 9
7 9
4 9
.
2. 0 1
1 1 2
1 0 2
2 AB
,
2 2
2
1 1
2 5
AB
2 1 1
1 2 3
1 2 3
AC
,
2 2
2
1 3
3 19
AC
1 1 1
3 2
3 8
AB AC AC AB
Misal
c
proyeksi vektor ortogonal AB pada arah
AC
,
2
8 19
1 8
24 3
19 19
3 24
19 AB AC
c AC
AC
Jadi proyeksi vektor ortogonal AB pada arah
AC
adalah
8 19
24 19
24 19
.
Misal
d
proyeksi vektor ortogonal
AC
pada arah AB ,