Turunan sebagai Limit Fungsi
433
Matematika
Notasi Newton
• f ’x atau y’ turunan pertama fungsi
Notasi Leibniz
• df x
dx atau
dy dx
turunan pertama fungsi
Deinisi 11.3
Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan c – ∆x, c + ∆x.
Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika
lim
∆
∆ ∆
x
f c x
f c x
→
+ −
ada.
Deinisi 11.4
Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat
diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat
diturunkan di setiap titik c di S.
Masalah-11.2
Seekor burung camar terbang melayang di udara dan melihat seekor ikan di permukaan
laut. Burung tersebut terbang menukik dan menyambar ikan kemudian langsung terbang
ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi fx = |x| pada batas x tentukan. Dapatkah kamu sketsa
graik tersebut. Coba amati dan teliti dengan cermat turunan fungsi tersebut pada titik O0,0.
Alternatif Penyelesaian
Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas X Misalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O0,0
sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut ingat cara menggambar kurva fx = |x| di kelas X:
tersebut berubah di buku ajar lainnya.
Pandu siswa memahami Deinisi 11.3 dan Deinisi
11.4 Minta siswa menjelaskan
kembali Deinisi 11.3 dengan menggunakan
gambar.
Ajukan Masalah 11.2 untuk dipahami siswa.
Ingatkan kembali siswa materi nilai mutlak pada
Bab 2 kelas X. Minta siswa mensketsa fungsi
nilai mutlak tersebut
434
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Gambar 11.5 Kurva fungsi fx = |x|
Berdasarkan konsep turunan di atas maka f x
f x x
f x x
x
lim =
+ −
→ ∆
∆ ∆
bila limitnya ada. i. Jika x
≥ 0 maka fx = x sehingga: f x
f x x
f x x
x x
x x
x x
lim lim
= +
− =
+ −
=
→ →
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
1 limit kanan ada.
ii. Jika x 0 maka fx = –x sehingga:
f x f x
x f x
x x
x x
x
x x
lim lim
= +
− =
− + − −
= −
→ →
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
1
limit kiri ada. Co
ba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju 0 didekati dari kiri, maka
f x f x
x f x
x
x
lim =
+ −
→ ∆
∆ ∆
tidak sama, bukan? Hal ini mengakibatkan turunan fungsi fx = |x| di titik x = 0 tidak
ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0. Minta siswa memperhati-
kan sketsa fungsi nilai mutlak di samping. Seka-
rang, arahkan siswa untuk mendapatkan turunan
fungsi tersebut.
Berdasarkan deinisi nilai mutlak pada Bab 2 kelas X
Deinisi 2.1 dan konsep turunan, pandu siswa
menemukan turunan fungsi fx = |x|.
Ingatkan siswa konsep limit kiri dan limit kanan
pada Bab 10 kelas X.
435
Matematika
Deinisi 11.5
Misalkan fungsi f : S→R, S
⊆
R dengan c – ∆x, c + ∆x
⊆
S • Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan
hanya jika
lim
∆
∆ ∆
x
f c x
f c x
→
+
+ −
ada. • Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan
hanya jika
lim
∆
∆ ∆
x
f c x
f c x
→
−
+ −
ada.
Berdasarkan pembahasan masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat
berikut.
Sifat 11.1
Misalkan fungsi f : S→R, S
⊆
R dengan x
⊆
S dan L
⊆
R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika
turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:
f x L
f x x
f x x
f x x
f x x
L
x x
lim lim
= ⇔ +
− =
+ −
=
→ →
+ −
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
Keterangan: 1. lim
∆
∆ ∆
x
f x x
f x x
→
+
+ −
adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S.
2. lim
∆
∆ ∆
x
f x x
f x x
→
−
+ −
adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri pada domain S.
Contoh 11.2
Tentukan turunan fungsi y x
= 2 Guru mengajukan Contoh
11.2 dan mengajak siswa bersama-sama mencoba
menyelesaikan soal yang diajukan tersebut.
Pandu siswa memahami Deinisi 11.5. Minta siswa
menemukan fungsi yang mempunyai nilai turunan
kanan tidak sama dengan turunan kiri selain fungsi
nilai mutlak di atas.
Pandu siswa memahami Sifat 11.1.
Minta siswa membuat sebuah fungsi dan
menunjukkan turunan kiri dan kanan fungsi tersebut.
436
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian
Jika f x x
= 2 maka f x
f x x
f x x
x x
x x
x
x x
x
lim lim
lim =
+ −
= +
−
= +
→ →
→ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
2 2
2 2
2∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− +
+ +
+ =
+ +
=
→ →
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 .
lim lim
2 2
2 2
x x
x +
+ ∆