Sifat-Sifat Determinan. Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks.
89
Matematika
Contoh 2.8
Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.
Diketahui A =
4 2
5 6
dan matriks B =
1 3
2 4
.
Tunjukkan bahwa
A B A
B .
. =
Alternatif Penyelesaian
Sebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita
tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:
A B .
. .
=
=
4 2
5 6
1 3
2 4
19 20
28 28
Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh
A B .
. =
= − 19
20 28
28 28
Sekarang kita akan bandingkan dengan nilai
A B
. .
Dengan matriks
A =
4 2
5 6
Maka A = 14, dan B =
1 3
2 4
Maka
B
= –2 nilai
A B
.
= 14.–2 = –28
A B A
B .
. =
= −28 Soal Tantangan….
• Selidiki apakah |A.B.C|=|A|.|B|.|C| untuk setiap matriks-matriks A,B, dan C berordo n×n.
• Jika matriks A adalah matriks persegi, dan k adalah skalar. Coba telusuri, nilai determinan matriks k.A.
Arahkan siswa untuk menyelesaikan soal tan-
tangan di samping. Latih siswa berpikir deduktif
untuk membuktikan kebe- naran
|A.B.C|=|A|.|B|.|C|
90
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Contoh 2.9
Sebuah matriks P ordo 2 × 2 dengan
P c
d =
a b
dengan a, b, c,
d ∈R. Jika determinan P adalahα , denganα ∈R. tentukan- lah determinan matriks
Q sa
sb =
− −
a xc
b xd
dengan x, y ∈ R.
Alternatif Penyelesaian
Jika
P a
c b
d =
, dan determinan matriks P adalahα , maka berlaku
a b
c d
= ad – bc = α
Elemen matriks Q memiliki hubungan dengan matriks P,
yaitu: q
21
= hasil kali skalar x terhadap p
21
– hasil kali skalar s terhadap p
11
. q
22
= hasil kali skalar x terhadap p
22
– hasil kali skalar s terhadap p
12
. Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks
Q menjadi kelipatan matriks
P. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Q a
xc sa
b xd
sb =
− −
→ →
baris baris
1 2
Elemen baris 1 matriks Q = elemen baris 1 matriks P. Mereduksi dalam hal ini adalah mengoperasikan elemen
baris 2 matriks Q menjadi elemen baris 2 matriks P. Unsur
q
21
dapat dioperasikan menjadi: q
21
= s.q
11
+ q
21
, akibatnya kita peroleh: Beri penjelasan pada
siswa, bahwa jika elemen salah satu baris atau ko-
lom sebuah matrik dika- likan dengan x bilangan
real, maka determinannya sama dengan x dikalikan
nilai determinan matirks sebelumnya.
91
Matematika
Q a
xc b
xd =
→ →
baris baris
1 2
.
Menurut sifat determinan matriks silahkan minta penjelasan lebih lanjut dari guru Matematika, maka
Q x
a b
c d
x a
b c
d =
= =
. ,
. α
α jadi
Q = xa
Soal Tantangan…. Misal matriks P adalah matriks berordo 3×3, dengan
|P|=
α
dan matriks Q berordo 3×3 dan mengikuti pola seperti contoh di atas.
Tentukan determinan matriks Q.
Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat
kembali menentukan transpose sebuah matriks yang sudah dipelajari, Matriks
A =
3 2
4 1
− −
dan matriks transpose dari matriks
A
t
3 4
2 1
− −
.
Determinan adalah det
A A
t t
= −
− = − + =
3 4
2 1
3 8
5
Perhatikan dari hasil perhitungan det A dan detA
t
diperoleh det A = detA
t
.
Sifat 2.5
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈
N. Jika det
A A
= �
dan det
A A
− −
=
1 1
maka
Ajukan contoh di sam- ping untuk menunjukkan
kepada siswa, bahwa de- terminan sebuah matriks
sama dengan determinan matriks transpos dari
matriks tersebut.
92
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Masalah-2.9
Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan
tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat
dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang
dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.
Kategori Airbus
100 Airbus 200
Airbus 300
Kelas Turis
50 75
40 Kelas
Ekonomi 30
45 25
Kelas VIP 32
50 30
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti
pada tabel berikut.
Kategori Jumlah Penumpang
Kelas Turis 305
Kelas Ekonomi 185
Kelas VIP 206
Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?
Alternatif Penyelesaian
Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan:
x : banyaknya pesawat Airbus 100
y : banyaknya pesawat Airbus 200
z : banyaknya pesawat Airbus 300
93
Matematika
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
50 75
40 305
30 45
25 185
32 50
30 206
5 x
y z
x y
z x
y z
+ +
= +
+ =
+ +
=
↔ 30
32 75
45 50
40 25
30 305
185 206
=
.
x y
z
Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks
A adalah matriks tak singular.
Cara untuk menentukan det A, dengan Metode Sarrus.
berikut: Misalnya matriks
A a
a a
a a
a a
a a
3 3 11
12 13
21 22
23 31
32 33
×
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
11 21
31 12
22 32
13 23
3 11
21 31
12 22
32 13
23 3
11 2
=
1 1
31 12
22 32
a a
a a
= +
+ −
− a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 22
33 12
23 31
13 21
32 31
22 13
32 23
. .
. .
. .
. .
. .
1 11
33 21
12
− a a a .
. Untuk matriks pada Masalah 4.9,
50 30
32 75
45 50
40 25
30 50
30 32
75 45
50 40
25 30
50 30
32 75
45 50
=
= +
+ −
− −
. .
. .
. .
. .
. .
50 45 30 75 25 32
40 30 50 32 45 40
50 25 50 30
0 30 75 100
. .
. =
-
– – –
+ + +
Analog dengan persamaan 2, kita akan menggunakan determinan matriks untuk menyelesaikan persoalan di atas.
Bantu siswa menentu- kan nilai x, y, dan z pada
Masalah 4.9 dengan menggunakan cara de-
terminan. Ingatkan siswa tentang penyelesaian
sistem persamaan linear tiga peubah yang sudah
dipelajari sebelumnya di Kelas X SMA.
94
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
x =
= −
− =
305 185
206 75
45 50
40 25
30 50
30 32
75 45
50 40
25 30
300 100
3
y =
= −
− =
50 30
32 305
185 206
40 25
30 50
30 32
75 45
50 40
25 30
100 100
1
z = 50
30 3
32 75
45 50
305 185
206 50
30 32
75 45
50 40
25 30
200 100
2 =
− −
=
Oleh karena itu: Banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak
3 unit Banyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak
1 unit Banyak pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak
2 unit.
•
Analog dengan cara II untuk penyelesaian masalah Pembelian Tiket PRJ, coba kamu selesaikan masalah
pengadaan pesawat ini dengan cara yang sama. Mintalah bimbingan dari gurum
u.
95
Matematika