Luas Segitiga buku pegangan guru matematika sma kelas 11 kurikulum 2013

233 Matematika Jika harga 1 m 2 tanah adalah Rp250.000,00, maka harga jual tanah tersebut ditentukan dengan 120 × 250.000 = 30.000.000. Maka harga jual tanah tersebut adalah Rp30.000.000,00 Perhatikan Gambar 6.11 berikut. Gambar 6.11 Segitiga ABC Garis BP merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga AC tegak lurus BP . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. Ingat kembali rumus menentukan luas daerah segitiga. Luas ∆ABC= 1 2 × AC × BP..............................................1 Dari segitiga ABP diketahui sin A = BP AB , sehingga BP = AB × sin A............................2 Dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 diperoleh Luas ∆ABC = 1 2 × AC × BP Luas ∆ABC = 1 2 × AC × AB × sin A Luas ∆ABC = 1 2 × b × c × sin A Pandu siswa untuk mendapatkan informasi pada segitiga ABC pada Gambar 6.11 terkait pene- muan prinsip luas segitiga 234 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Perhatikan Gambar 6.12 berikut. C a b B A c Q Gambar 6.12 Segitiga ABC Garis AQ merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga BC tegak lurus AQ . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. Luas ∆ABC= 1 2 × BC × AQ .............................................1 Dari segitiga ABQ diketahui sin B = AQ AB , sehingga AQ = AB × sin B ..........................2 Dengan mensubstitusikan pers 2 ke pers. 1 diperoleh Luas ∆ABC = 1 2 × BC × AQ Luas ∆ABC = 1 2 × BC × AB × sin B Luas ∆ABC = 1 2 × a × c × sin B Latihan 6.2 Dengan menggunakan ∆BPC pada Gambar 6.11 dan ∆AQC pada Gambar 6.12, tentukanlah rumus Luas ∆ABC. Berdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas sebarang segitiga sebagai berikut. Latihan ini bertujuan un- tuk menguji pemahaman siswa terhadap prinsip trigonometri dalam me- nentukan luas segitiga 235 Matematika Deinisi 6.1 Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas ∆ABC = 1 2 × ab sin C = 1 2 × bc sin A = 1 2 × ac sin B. Latihan 6.3 Dengan menggunakan segitiga ABC tumpul seperti Gambar 6.13 dibawah, buktikan bahwa Luas ∆ABC = 1 2 × bc sin A. Gambar 6.13. Segitiga tumpul ABC Berdasarkan Gambar 6.13 diperoleh ΔBQA siku-siku di Q, sehingga BQ = c sin A dan diperoleh juga BQ = a sin C karena Luas ΔABC = 1 2 ´ ´ BQ b = 1 2 b C sin Contoh 6.3 Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. Berdasarkan penyele- saian Latihan 6.2 diha- rapkan siswa dengan ban- tuan guru dapat membuat Deinisi Luas segitiga sembarang. Minta siswa membuat alasan bahwa luas segitiga adalah ½ alas × tinggi. Berikan Latihan 6.3 un- tuk diselesaikan siswa. Penyelesaian ini menun- tut kemampuan siswa da- lam menerapkan segitiga siku-siku dalam penyele- saian masalah Arahkan siswa menjawab soal pada Contoh 6.3. Minta siswa memahami Gambar 6.14. 236 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Gambar 6.14 Segiempat ABCD pada lingkaran L Tentukan luas segiempat ABCD dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. Alternatif Penyelesaian Langkah 1. Bagi daerah ABCD menjadi dua bagian dengan menarik garis AC atau BD. Misalkan, kita pilih garis BD sehingga gambar menjadi: Gambar 6.15 Daerah segiempat ABCD terbagi atas dua segitiga Langkah 2. Manfaatkan aturan cosinus pada masing-masing daerah. Perhatikan segitiga BAD Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: Pandu siswa memaha- mi proses penyelesaian langkah per langkah pada altenatif penyelesaian di samping. Pandu siswa memanfaatkan aturan co- sinus, konsep trigonome- tri, dan rumus luas segi- tiga. 237 Matematika BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB.AD.cos A BD 2 = 1 2 + 4 2 – 2.1.4.cos A BD 2 = 17 – 8.cos A Perhatikan segitiga BCD Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: BD 2 = BC 2 + CD 2 – 2BC.CD.cos C BD 2 = 2 2 + 3 2 – 2.2.3.cos C BD 2 = 13 – 12.cos C Berdasarkan konsep sudut pada lingkaran maka ∠A + ∠C = 180˚ sehingga ∠C = 1800 – ∠A sehingga diperoleh: 17 – 8.cos A = 13 – 12.cos C 17 – - 8.cos A = 13 – 12.cos 180˚ – A ingat konsep trigonometri di kelas X 17 – 8.cos A = 13 + 12.cos A 20.cos A = 4 cos A = 1 5 Langkah 3. Berdasarkan konsep trigonometri pada kelas X maka diperoleh segitiga siku-siku dengan cos A = 1 5 . Perhatikan Gambar Dengan Phytagoras maka diperoleh panjang sisi di depan sudut A adalah 25 1 24 2 6 − = = . Dengan konsep trigonometri dasar maka diperoleh: sin A = 2 6 5 Langkah 4. Jadi, luas ‪ABCD = luas ‪BAD + luas ‪BCD luas ‪ABCD = 1 2 .AB.AD.sin A + 1 2 .CB.CD.sin C Pandu siswa memanfaat- kan aturan cosinus pada segitiga ABCD Ingatkan siswa konsep dasar trigonometri 238 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK luas ‪ABCD = 1 2 .1.4.sin A + 1 2 .2.3.sin 180 o – A luas ‪ABCD = 2.sin A + 3.sin A luas ‪ABCD = 5.sin A luas ‪ABCD = 5 × 2 6 5 luas ‪ABCD = 2 6 Jadi, luas segiempat ABCD pada lingkaran tersebut adalah 2 6 satuan luas. Contoh 6.4 Pada segitiga ABC dengan luas L. Panjang AB = p, AC = q. Jika D pada BC sehingga AD membagi sudut BAC menjadi dua bagian yang sama yaitu x o maka tentukan panjang AD. Alternatif Penyelesaian. Langkah 1. Gambar 6.17 Garis bagi AD pada segitiga ABC Langkah 2. Luas ΔBAD = 1 2 .AB.AD.sin x o = 1 2 .p.AD.sin x o Luas ΔCAD = 1 2 .AC.AD.sin x o = 1 2 .q.AD.sin x o Arahkan siswa menyele- saikan Contoh 6.4. soal telah diselesaikan di samping 239 Matematika Langkah 2. Luas ΔABC = Luas ΔBAD + Luas ΔCAD L = 1 2 .p.AD.sin x o + 1 2 .q.AD.sin x o 2L = p +.qAD.sin x o AD = 2L p q x o sin + Jadi, panjang AD adalah 2L p q x o sin + Uji Kompetensi 6.1 1. Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan dengan jurusan tiga angka 102 dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232 . Hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam, jika kecepatan kapal A 30 kmjam dan kecepatan kapal B adalah 45 kmjam. 2. Tentukan sisi-sisi segitiga ABC, jika diketahui sebagai berikut. a a + b = 10, ∠ A= 60 , dan ∠ B = 45 b a – b = 6, ∠ A= 45 , dan ∠ B = 30 3. Dua sisi yang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 84 cm dan 68 cm. Sudut apit sisi itu adalah 72°. Hitunglah luas jajargenjang tersebut. 4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di samping. Buktikanlah bahwa a b c A B C ± = ± sin sin sin . Soal-soal pada Uji Kompetensi ini diberikan kepada siswa berupa tu- gas untuk dikerjakan di rumah. Soal uji kompe- tensi ini bertujuan untuk mengukur kemampuan siswa terkait prinsip atur- an sinus dan cosinus. 240 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK A B C a b c 5. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui berikut ini. ∆ABC dengan a = 24 cm, b = 32 cm, dan ∠ B = 52 ∆ABC dengan b = 20 cm, b = 18 cm, dan ∠ B = 124 6. Hitunglah besar sudut-sudut pada segitiga ABC, jika diketahui a = 5 cm, b = 7 cm, dan c = 9 cm. 7. Diketahui segitiga PQR seperti gambar di samping. Buktikanlah bahwa p r Q R R = + sin sin . P Q R p q r 8. Diketahui jajargenjang ABCD dengan panjang diagonal c dan d seperti gambar di samping. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga, buktikanlah bahwa c 2 + d 2 = 2a 2 + b 2 . D C B A a b a c d 241 Matematika 9. Diketahui segiempat ABCD seperti gambar di samping. Jika panjang diagonal BD = 6 cm, dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga tentukanlah panjang diagonal AC. A B C D 3,5 cm 5,5 cm 4 cm 6 cm 10. Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan 3 cm berpotongan pada dua titik. Pada salah satu titik potong, garis singgung kedua lingkaran membentuk sudut 60 seperti gambar di samping. Tentukanlah jarak kedua titik pusat lingkaran tersebut. 5cm 3cm O P 60 ○ 11. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC, buktikanlah bahwa a c 2 a 2 + b 2 jika ∠ C lancip; b c 2 a 2 + b 2 jika ∠ C tumpul; dan c c 2 = a 2 + b 2 jika ∠ C siku-siku. 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa a cos cos cos A a B b C c a b c abc + + = + + 2 2 2 2 b cos cos cos A B C a b c a b a c b c a b c abc + + = + − + + − + + − 2 2 2 2 242 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Projek Lukislah sebuah segitiga sembarang. Dengan menggunakan penggaris dan busur kemudian ukurlah panjang masing-masing sisi dan sudutnya. Selanjutnya buktikanlah bahwa aturan sinus dan aturan kosinus berlaku pada segitiga tersebut Agar perhitunganmu akurat, gunakan kalkulator untuk menghitung nilai sinus dan kosinus sudut- sudut segitiga tersebut. Buatlah laporan hasilnya dan persentasikan di depan kelas.

D. PENUTUP

Berdasarkan uraian materi pada Bab 6 ini, beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan sebagai berikut. 1. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan sinus a A b B c C sin sin sin = = . 2. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan cosinus i a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ii b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B iii c = a 2 + b 2 - 2ab cos C 3. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas ∆ABC = 1 2 × ab sinC = 1 2 × bc sinA = 1 2 × ac sinB Beberapa hal yang telah kita rangkum di atas adalah modal dasar bagi kamu dalam belajar materi trigonometri secara lebih mendalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan baik karena akan membantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnnya. 2. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 3. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 4. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 5. Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan, letak dan penyebaran data sesuai dengan karakteristik data melalui aturan dan rumus serta menafsirkan dan mengomunikasikannya. 6. Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar: • Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip statistik melalui pemecahan masalah autentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan. • Berkolaborasi memecahkan masalah autentik dengan pola interaksi edukatif. • Berpikir tingkat tinggi dalam menyajikan, serta menganalisis statistik deskriptif. STATISTIKA • Mean • Median • Modus • Simpangan baku • Varian • Histogram • Quartil • Desil • Persentil Bab 7 244 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK

B. PETA KONSEP

MATERI PRASYARAT Statistika Penyajian Data Diagram Angket Median Pengumpulan Tabel Wawancara Rata-rata Pengolahan Data Graik Observasi Modus BILANGAN PENGUKURAN Masalah Otentik 245 Matematika

1. UKURAN PEMUSATAN

Mean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan. Untuk lebih memahami tentang ukuran pemusatan data, mari kita cermati dari masalah berikut ini. Masalah-7.1 Kepala Sekolah SMA Negeri 1 Bakara-Baktiraja ingin mengevaluasi hasil belajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap 64 siswasiswi kelas XI dinyatakan sebagai berikut. 61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48 80 63 76 49 84 79 80 70 68 92 61 83 88 81 82 72 83 87 81 82 81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97 75 83 79 86 80 51 71 72 82 70 93 72 91 67 88 80 63 76 49 84 Guru berencana menyederhanakan data tunggal tersbut menjadi bentuk data berinterval dan membuat statitistiknya, hal ini dilakukan untuk mengeisienkan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Bantulah guru tesebut untuk menyusun laporannya Alternatif Penyelesaian Untuk dapat memudahkan penggunaan data tersebut, susun data berdasarkan urutan terkecil hingga terbesar. Urutan data tersebut dinyatakan sebagai berikut. 38 48 48 49 49 51 56 60 61 61 63 63 63 65 66 67 68 70 70 70 71 72 72 72 73 74 74 74 75 75 76 76 76 76 78 79 79 80 80 80 80 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 84 84 85 85 86 87 88 88 88 88 88 89 90 90 90 90 91 91 92 92 92 93 93 97 97 98

C. MATERI PEMBELAJARAN

Berikan apersepsi mengenai pemusatan data dan ingatkan pula akan materi yang pernah dipelajari pada kelas 10 serta materi prasyaratnya. Berikan kesempatan siswa untuk mengamati persoalan data dan mencoba untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan kreatiitasnya. Arahkan siswa untuk melakukan langkah- langkah dalam mengurai permasalahan. 246 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Setelah data diurutkan, dengan mudah kita temukan, data terbesar adalah 98 dan data terkecil adalah 38. Selisih data terbesar dengan data terkecil disebut sebagai jangkauan data. Untuk data yang kita kaji, diperoleh: Jangkauan Data adalah 60. Langkah kita selanjutnya adalah untuk mendistribusikan data-data tersebut ke dalam kelas- kelas interval. Untuk membagi data menjadi beberapa kelas, kita menggunakan aturan Sturgess. Aturan tersebut dinyatakan bahwa jika data yang diamati banyaknya n dan banyak kelas adalah k, banyak kelas dirumuskan sebagai berikut: k = 1 + 3, 3. log n Untuk data di atas diperoleh, Banyak Kelas = 1 + 3,3. log 80 = 1 + 3,3. 1,903 = 7,28 = 7 Jadi, 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval. Pertanyaan kritis: Jelaskan mengapa angka pembulatan yang dipilih angka 7 bukan angka 8? Petunjuk jawaban: Pemilihan banyak kelas dimaksudkan sebagai upaya penyesuaian agar semua data yang dapat tercakup dalam distribusi frekuensi. Sekarang kita perlu menentukan berapa banyak data yang terdapat pada satu kelas interval. Banyak data dalam satu interval, disebut panjang interval kelas, yang dirumuskan sebagai berikut: Maka diperoleh: Panjang Kelas = Jangkauan data Banyak kelas dari data di atas dapat di peroleh Panjang Kelas = Jangkauan 60 = = 8,57 9 Banyak Kelas 7 ≈ Selanjutnya, dengan adanya banyak kelas adalah 7 dan panjang kelas adalah 9 dapat kita gunakan untuk membentuk kelas interval yang dinyatakan sebagai berikut: Ingatkan kembali materi sebelumnya sehingga siswa mampu menggunakan rumus materi dalam pemecahan masalah. Coba minta siswa untuk membentuk data menjadi 8 kelas interval, lalu minta siswa mengamati terhadap apa yang terjadi?