437
Matematika
Contoh 11.3
Jika fx = x
2
maka f x = +
− =
+ −
= +
=
→ →
→
lim lim
lim
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
x x
x
f x x
f x x
x x
x x
x x
x
2 2
2 2
Contoh 11.4
Jika fx = x
4
maka f x =
+ −
= +
−
= +
→ →
→
lim lim
lim
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
x x
x
f x x
f x x
x x
x x
x x
x
4 4
4 3
4 ++
+ +
−
= +
+ +
→
6 4
4 6
4
2 2
3 4
4 3
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
lim =
3 3
4 ∆
∆ x
x x
Pada Contoh 11.3 dan 11.4, siswa masih dengan
mudah menjabarkan x
2
dan x
4
.
Minta siswa menjawab soal di samping dengan
menjabarkan bentuk x + ∆x
4
terlebih dulu.
438
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Contoh 11.5
Jika fx = x
100
maka f x = +
− =
+ −
= =
→ →
→
lim lim
lim ?
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
x x
x
f x x
f x x
x x
x x
x
100 100
....? dengan menjabarkan; proses semakin sulit, bukan?
Contoh 11.6
Jika fx = x
3 5
maka f x = +
−
= +
− =
=
→ →
→
lim lim
lim ?
..
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
x x
x
f x x
f x x
x x
x x
x
3 5
3 5
..? dengan menjabarkan; proses juga semakin sulit, bukan?
Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Jelas, kita kesulitan dan harus mempunyai banyak
strategi aljabar untuk melanjutkan proses pada Contoh 11.5 dan 11.6. Bentuk suatu fungsi beragam sehingga
penurunannya dengan menggunakan limit fungsi akan ada yang sederhana diturunkan dan ada yang sangat sulit
diturunkan. Kita harus mempermudah proses penurunan suatu fungsi dengan menemukan aturan-aturan penurunan.
Minta siswa memperhatikan soal
pada contoh di samping. Tanya siswa, dimana
letak kesulitan pada soal. Minta siswa menjawab
soal di samping dengan menjabarkan bentuk x +
∆x
100
terlebih dulu.
439
Matematika
1.3.1 Menemukan turunan fungsi fx = ax
n
,untuk n bilangan asli
f x f x
x f x
x a x
x ax
x
x x
n n
lim lim
= +
− =
+ −
→ →
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
Gunakan Biinomial Newton =
+ +
+ +
→ −
−
lim ...
∆
∆ ∆
∆
x n
n n
n
ax anx
x aC x
x a x
1 2
2 2
n n
n
x n
n n
n n
ax x
x anx aC x
x a x
x anx
− =
+ + +
=
→ −
− −
−
∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
lim ...
1 2
2 1
1
• Coba kamu buktikan sendiri jika f x = aux dan ux ada, maka f x = aux
1.3.2 Menemukan turunan jumlah fungsi fx = ux + vx
dengan ux dan vx ada.
f x u x
x v x
x u x
v x x
u x
x x
lim [
] [ ]
lim [
= +
+ +
− +
= +
→ →
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
x x
u x v x
x v x
x u x
x u x
x v x
x v
x
] [ ]
lim −
− +
− =
+ −
+ +
−
→
∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
x x
u x v x
∆ =
+ Dengan cara yang sama, buktikan sendiri bahwa turunan
fungsi fx = ux – vx adalah f x = ux – vx
Contoh 11.7
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut a. fx = 5x
4
– 4x
3
+ 3x
2
– 2x + 1
Alternatif Penyelesaian
f x = 5.4x
4–1
– 4.3x
3–1
+ 3.2x
2–1
– 2.1x
1–1
+ 1.0x
0–1
f x = 20x
3
– 12x
2
+ 6x – 2 Informasikan kepada
siswa bahwa kesulitan mencari turunan fungsi
pada contoh di atas dapat diatasi dengan
menemukan bentuk turunan secara umum.
Arahkan siswa memahami proses limit fungsi di
samping. Minta siswa
menyelesaikan kembali soal pada Contoh 11.3-
11.6 di atas. Minta siswa membuktikan
jika dan ada, maka dengan menggunakan
konsep limit fungsi. Jawaban ada di
samping. Contoh 11.5 dan 11.6 dijawab di
samping.
Dengan cara yang sama, minta siswa memahami
proses penurunan fungsi fx = ux + vx di
samping.
Dengan memanfaatkan konsep turunan jumlah
dan selisih fungsi di atas, minta siswa memahami
Contoh 11.7. Guru diharapkan mengajukan
contoh soal lainnya.
Ingat Sifat 10.6 pada Bab 10 di kelas X
440
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
b. f x x
x =
− 1
3 2
5
1 4
1 3
Alternatif Penyelesaian
f x x
x f x
x x
. .
= −
= −
− −
− −
1 3
1 4
2 5
1 3
1 12
2 15
1 4
1 1
3 1
3 4
2 3
1.3.3 Menemukan turunan fungsi fx = [ux]
n
dengan ux ada, n bilangan asli.
Dengan konsep limit fungsi.
f x f x
x f x
x u x
x u x
x
x x
n n
lim lim
[ ]
[ ] li
= +
− =
+ −
=
→ →
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
m m
[ ]
[ ] [
]
∆
∆ ∆
∆
x n
n
u x x
u x u x
u x x
P u x
x u x
→
+ −
+ −
= +
− =
Misal llim
[ ]
[ ] lim
∆ ∆
∆
x n
n
P u x
u x x
→
+ −
= Gunakan Binomial Newton
x x
n n
n n
n n
n n
P C P
u x C P
u x C
P u x u
→ −
− −
−
+ +
+ + +
1 1
2 2
2 1
1
[ ] [ ]
... [ ]
[ ] [ ]
lim [ ]
[ ] ...
x u x
x P
nP u x
C P u x
n n
x n
n n
n
− =
+ +
+ +
→ −
−
∆
∆ 1
2 2
2
C C
P u x
C P u x
x P P
nP u
n n
n n
n n
x n
n −
− −
−
→ −
−
+ =
+
2 2
2 1
1 1
2
[ ] [ ]
lim [
∆
∆
xx C
P u x C
u x x
P x
n n
n n
n n
x
] ...
[ ] [ ]
lim lim
2 2
2 1
1
+ + +
=
− −
− −
→
∆ ∆
∆ ∆xx
n n
n n
n n
n n
P nP
u x C
P u x C
u x
→ −
− −
− −
−
+ + +
+
1 2
2 2
2 1
1
[ ] ...
[ ] [ ]
Karena lim
lim lim
lim
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
x x
x x
P x
u x x
u x x
u x P
→ →
→
= +
− =
=
→ →
+ −
= u x
x u x
∆ =
+ =
− −
u x n u
x nu x u x
n n
[ [ ]
[ ]
1 1
Bentuk kelompok untuk memahami
proses disamping. Minta kelompok
mempresentasikan proses penemuan turunan fungsi
fx = [ux]n. Arahkan siswa untuk
belajar dengan sesi tanya jawab.
Ingatkan siswa menjabarkan dengan
menggunakan Binomial Newton.
Ingat Sifat 10.5 pada Bab 10 di kelas X
441
Matematika
Aturan Turunan:
Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan
dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat
diturunkan maka: fx = a → f x = 0
fx = ax → f x = a fx = ax
n
→ f x = nax
n–1
fx = aux → f x = aux fx = ux → f x = ux ± vx
fx = uxvx → f x = uxvx + uxvx
f x u x
v x f x
u x v x u x v x
v x [ ]
= →
= −
2
Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva akan lebih mudah ditentukan,
bukan? Perhatikan contoh berikut
Contoh 11.11
Tentukan persamaan garis singgung kurva f x x
x =
−
2
1 di titik P2, 4.
Alternatif Penyelesaian.
Titik P2, 4 berada pada kurva f x x
x =
−
2
1 sebab jika
kita subtitusikan nilai x = 2 maka f 2
2 2 1
4
2
= −
= . Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi
f x x
x =
−
2
1 dengan memisalkan ux = x
2
sehingga ux = 2x dan v x
x x
= − =
− 1
1
1 2
sehingga v
x x
= −
−
1 2
1
1 2
. Dengan demikian, turunan pertama Mengingat pada sub-
bab awal, gradien garis singgung ditentukan
dengan menggunakan konsep limit, maka pada
kesempatan ini, gradien ditentukan dengan konsep
turunan. Guru mengajukan
beberapa contoh dan mengajak siswa
bersama-sama mencoba menyelesaikan soal yang
diajukan. Bersama – sama
dengan siswa, guru mengumpulkan semua
aturan turunan yang telah diperoleh.
Guru dapat mengajukan beberapa soal penurunan
fungsi aljabar terkait dengan pemanfaatan
aturan turunan di samping.
Pandu siswa menggunakan aturan
turunan untuk menentukan gradien suatu garis
singgung.
442
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
fungsi adalah f x u
x v x u x v
x v x
= −
2
atau
f x x x
x x
x =
− − −
−
−
2 1
2 1
1
2 1
2
. Gradien garis singgung kurva di titik P2, 4 adalah
f 2
4 2
1 2
= −
= sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah y – 4 = 2x – 2 atau y – 2x = 0.
Gambar 11.5 Garis singgung kurva
f x x
x =
−
2
1
di titik P2, 4.
Uji Kompetensi 11.1
1. Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 1 pada tiap-tiap fungsi berikut. Petunjuk:
carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi.
a. fx = 2x
b. fx = 2x
2
c. fx = 2x
3
– 1 d.
fx = 2
1 x
+ e.
fx = 2
2
x Setelah siswa memahami
cara menemukan gradien dan garis singgung kurva
tersebut, minta siswa memahami kasus tersebut
dengan sketsa di samping.
Berikan soal - soal Uji Kompetensi ini sebagai
tugas di rumah bagi siswa. Tujuan pemberian
uji kompetensi ini adalah untuk mengetahui apakah
siswa sudah memahami tentang konsep turunan
fungsi aljabar dan garis singgung suatu fungsi.
443
Matematika
2. Misalkan ux, vx, wx, hx dan gx adalah fungsi yang dapat diturunkan. Dengan menggunakan konsep
turunan sebagai limit fungsi, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut:
a. fx = 2x + 1
2
b. fx = x
2
– x + 1
2
c. fx =
2 1
3 4
x x
+ +
d. fx = uxvxwx
e. fx = h°gx
3. Dengan menggunakan konsep turunan, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut.
a. fx = x
3
2x + 1
5
b. fx = 1
2 2
3
2 3
3 4
x x
− c. fx =
x x
= −
1 2
1 3
2 1
4
d. fx = x
x +
+1 e. fx =
1 1
2 3
2 3
... ...
+ + +
+ + +
x x
x x
n
n
5. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = fx di titik P–1,1 pada masing-masing fungsi berikut.
Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan.
a. fx = x + 2
–9
b. fx = 2
1
2 3
x −
c. fx = –x
3
x + 2
–2
d. fx = −
− +
x x
2 2
e. fx =
x x
+ −
2 2
1
2
444
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
2. Aplikasi Turunan
Konsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari
di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naikturun, keoptimalan fungsi
dan titik belok suatu kurva.
2.1 Fungsi Naik dan Turun
Coba bayangkan ketika kamu pergi ke plaza atau mall, di sana kita temukan ekskalator atau lift. Gerakan
lift dan ekskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan ekskalator saat
turun dapat diilustrasikan sebagai fungsi turun. Amatilah
beberapa graik fungsi naik dan turun di bawah ini dan coba tuliskan cirri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai
ide untuk mendeinisikan fungsi naik dan turun.
x y
y = fx
x d
y = fx y
x y
d y = fx
x y
y = fx x
d y
y = fx y
y = fx x
Beberapa graik fungsi turun dari kiri ke kanan
Beberapa graik fungsi naik dari kiri ke kanan
Dari beberapa contoh graik fungsi naik dan turun di atas, mari kita deinisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut.
Informasikan kepada siswa bahwa pada sub-
bab ini akan mereka pelajari konsep turunan
dalam menentukan interval fungsi naikturun,
keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva.
Pandu siswa memahami fungsi naik, tidak naik,
turun dan tidak turun.
Minta siswa memahami graik fungsi naik turun
di samping. Pandu siswa memahami
bentuk graik fungsi naik, tidak naik, turun dan tidak
turun. Minta siswa membuat
atau menggambar graik yang naik, tidak naik,
turun dan tidak turun. Minta siswa menentukan
fungsi yang mempunyai
graik naik, tidak naik, turun dan tidak turun.
445
Matematika
Deinisi 11.5
Misalkan fungsi, • Fungsi f dikatakan naik jika
∀
x
1
, x
2
∈
S, x
1
x
2
⇒
fx
1
fx
2
• Fungsi f dikatakan turun jika
∀
x
1
, x
2
∈
S, x
1
x
2
⇒
fx
1
fx
2
Contoh 11.12
Tunjukkan graik fungsi fx = x
3
, x ∈ R dan x 0 adalah
fungsi naik.
lternatif Penyelesaian
fx = x
3
, x ∈ R dan x 0 Ambil sebarang x
1
, x
2
∈ R dengan 0 x
1
x
2
x = x
1
⇒ fx
1
= x
1 3
x = x
1
⇒ fx
2
= x
2 3
Karena 0 x
1
x
2
maka x
1 3
x
2 3
Karena x
1 3
x
2 3
maka fx
1
fx
2
Dengan demikian ∀x
1
, x
2
∈ S, x
1
x
2
⇒ fx
1
fx
2
. Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Bagaimana jika
fx = x
3
, x ∈ R dan x
0, apakah graik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki
2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Mari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun dengan memperhatikan dan
mengamati permasalahan berikut. Pandu siswa memahami
Deinisi 11.5. Berikan sebuah fungsi
yang sederhana dan pandu siswa untuk menunjukkan
kebenaran Deinisi 11.5.
Pandu siswa menujukkan kebenaran Deinisi 11.5
pada Contoh 11.12 Berikan kesempatan
kepada siswa untuk berkomentar dan saling
tanya jawab. Guru sebagai fasilitator.
Minta siswa berkelompok menganalisis graik fungsi
fx = x
3
untuk x 0. Minta siswa menunjukkan
Deinisi 11.5 dengan pembuktian dan graik.
Pandu siswa untuk menemukan keterkaitan
konsep turunan dengan fungsi naikturun.
