Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi
129
Matematika
Jadi, g ◦ f ≠ f ◦ g
Berdasarkan Contoh 3.4 di atas, disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi
tidak berlaku, yaitu; g ◦ f ≠ f ◦ g.
Contoh 3.5
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 2x – 1 dan fungsi g: R→R dengan gx = 4x+5, dan fungsi h: R→R
dengan hx = 2x – 3. a Tentukanlah fungsi komposisi
g◦f ◦ hx dan g ◦ f ◦ hx.
b Tentukanlah fungsi komposisi f◦g ◦ hx
dan f ◦ g ◦ hx.
c Selidiki apakah: i g ◦ f ◦ hx = g ◦ f ◦ hx, dan
ii f ◦ g ◦ hx = f ◦ g ◦ hx
Alternatif Penyelesaian
a Rumus fungsi komposisi g◦f ◦ hx dan g ◦ f ◦ hx
i Misalkan kx = f ◦ hx
kx = f hx
= 2hx – 1 = 22x – 3 – 1
= 4x – 6 – 1 = 4x – 7
g ◦ f ◦ hx = g ◦ kx
= gkx
= 4kx + 5 = 44x – 7 + 5
= 16x – 28 +5 = 16x – 23
Jadi fungsi komposisi g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
Ajukan Contoh 2.5 kepa- da siswa.
Pandu siswa memahami proses penyelesaian di-
samping
130
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
ii Misalkan lx = g ◦ fx
lx= gfx = 4fx + 5
= 42x – 1 + 5 = 8x – 4 + 5
= 8x + 1 g ◦ f ◦ hx = l ◦ hx
= lhx
= 8hx + 1 = 82x – 3 + 1
= 16x – 24 + 1 = 16x – 23
Jadi rumus fungsi komposisi g ◦ f hx = 16x – 23.
b Rumus fungsi komposisi f ◦g ◦ h dan f ◦ g h
i Misalkan mx = g ◦ hx
mx = ghx = 4hx + 5 = 42x – 3 + 5
= 8x – 12 + 5 = 8x – 7
f ◦ g ◦ hx =
f ◦ mx =
fmx = 2mx – 1
= 28x – 7 – 1 = 16x – 14 – 1
= 16x – 15 Jadi rumus fungsi komposisi
f ◦ g ◦ hx = 16x – 15 ii Misalkan nx =
f ◦ gx nx
= fgx = 24x + 5 – 1
= 8x + 10 – 1 = 8x + 9
f ◦ g◦hx =
n ◦ hx =
nhx = 8hx + 9
= 82x – 3 + 9 = 16x – 24 + 9
= 16x – 15 Jadi rumus fungsi komposisi
f ◦ g ◦ hx = 16x – 15
131
Matematika
iii Dari butir a dan butir b, diperoleh nilai i
g ◦ f ◦ hx = 16x – 23 dan g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
ii f ◦ g ◦ hx = 16x – 15 dan f ◦ g ◦ hx
= 16x – 15 Berdasarkan nilai-nilai ini disimpulkan bahwa
i g ◦ f ◦ hx = g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
ii f ◦ g ◦ hx = f ◦ g ◦ hx = 16x – 15
Sifat 3.1
Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika R
h
∩
D
g
≠ Ø; Ø; Rg
∩
Df ≠ Ø; Ø, maka pada operasi komposisi fungsi
berlaku sifat asosiatif, yaitu; f
◦
g
◦
h = f
◦
g
◦
h
Contoh 3.6
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 5x – 7 dan fungsi I: R→R dengan Ix = x.
a Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I ◦ f.
b Selidikilah apakah f ◦ I = I ◦ f = f.
Alternatif Penyelesaian
a Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I ◦ f
f ◦ Ix =
fIx =
fx = 5x – 7
I ◦ fx =
Ifx =
Ifx = 5x – 7
a Berdasarkan hasil-hasil pada butir a di atas disimpulkan bahwa:
f ◦ I = I ◦ f = f Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6 kita peroleh sifat
berikut. Arahkan siswa agar siswa
dapat membuat prinsip bahwa berlaku sifat asosi-
atif dalam operasi fungsi komposisi
Minta siswa untuk me- ngamati Contoh 3.6 kemu-
dian minta salah seorang siswa menjelaskan ten-
tang penyelesaian contoh ini. Jika siswa mengalami
kesulitan ingatkan siswa tentang operasi fungsi
komposisi yang sudah dipelajari. Contoh ini ber-
tujuan untuk menunjuk- kan sebuah prinsip bahwa
jika f sebuah fungsi dan I merupakan fungsi identi-
tas maka berlaku f
◦ I = I ◦ f = f. jika siswa masih mengala-
mi kesulitan berikan be- berpa contoh lain sehing-
ga nantinya siswa dapat membuat prinsip tentang
sifat tersebut.
132
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Sifat 3.2
Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika R
i
∩
D
f
≠ Ø maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu: I x = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu;
f ◦ I = I ◦ f = f
Agar kamu lebih memahami sifat 3.2, selesaikanlah latihan berikut.
Latihan Diketahui fungsi f: R→R dengan fx =
2 3
5 x
- dan
fungsi identitas I: R→R dengan Ix = x. Buktikanlah bawah f
◦ I = I ◦ f = f .
Uji Kompetensi 3.1
1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan
menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan
mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah
jadi dengan mengikuti fungsi f x = 0,7x + 10 dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga
mengikuti fungsi g x = 0,02x
2
+ 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.
a Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang
dihasilkan? kertas dalam satuan ton. b Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang
dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak
kertas yang dihasilkan? Berdasarkan contoh yang
telah diselesaikan pada contoh, minta siswa untuk
dapat membuat sebuah kesimpulan bahwa ber-
laku f ◦ I = I ◦ f = f
Alternatif Penyelesaian f
◦ I = 2
3 5
x −
I ◦ f =
2 3
5 x
−
Berikan Uji Kompetensi 3.1 kepada siswa sebagai
tugas di rumah. Uji kom- petensi ini bertujuan un-
tuk mengukur kemampuan siswa tentang konsep dan
prinsip fungsi komposisi
133
Matematika
2. Diketahui fungsi fx = x
x − 3
, x ≠ 0 dan gx =
x
2
9 − . Tentukan rumus fungsi berikut bila terdeinisi
dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. a f + gx
b f – gx c f × g x
d f
g x
3. Misalkan f fungsi yang memenuhi untuk
f x
x f
x x
1 1
2
+ − =
setiap x ≠ 0.
Tentukanlah nilai f2.