Matriks Definit dan Pengoptimuman Pengoptimuman Taklinear Berkendala

Gradien dan Matriks Hessian Misalkan fungsi � = , , … , mempunyai turunan parsial orde pertama dan orde kedua yang kontinu, maka gradien fungsi f adalah � = � � � dan matriks Hessian dari fungsi � adalah � = � � � � � � ⋱ � � � Karena � fungsi kontinu, maka � = � matriks Hessian � merupakan matriks simetrik. Peressini et al. 1988

2.12 Matriks Definit dan Pengoptimuman

Definisi 19 Minor Utama Misalkan matriks simetrik berukuran × . Minor utama ke- dari , dilambangkan dengan ∆ , adalah determinan dari anak matriks yang diperoleh dengan menghilangkan − baris terakhir dan − kolom terakhir dari matriks . Peressini et al. 1988 Teorema 2.3 Matriks Definit Misalkan matriks simetrik berukuran × , dan misalkan ∆ adalah minor utama ke- dari untuk 1 , maka 1. definit positif jika dan hanya jika ∆ 0 untuk = 1, , . 2. definit negatif jika dan hanya jika −1 ∆ 0, untuk = 1, , . Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 17. Teorema 2.4 MinimumMaksimum Lokal Misalkan � fungsi yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu di ⊂ ℝ . Misalkan � ∗ titik interior bukan titik batas dari dan � ∗ titik kritis dari fungsi . Misalkan � adalah matriks Hessian dari fungsi �. Maka � ∗ adalah 1. Minimum lokal untuk � jika � ∗ definit positif. 2. Maksimum lokal untuk � jika � ∗ definit negatif. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 22.

2.13 Pengoptimuman Taklinear Berkendala

Suatu permasalahan optimasi disebut taklinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk taklinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Bentuk umum pengoptimuman ini adalah masalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan � dengan kendala �. Misalkan � ⊂ ℝ dan �, � merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu. Fungsi � adalah fungsi tujuan dan � 0, = 1, … , , adalah fungsi kendala. Daerah penyelesaian dari fungsi kendala untuk masalah disebut daerah fisibel, dan titik � yang terdapat dalam daerah tersebut disebut titik fisibel. Definisi 20 Titik Reguler Titik fisibel � ∗ dinamakan titik regular untuk masalah , jika himpunan vektor � � ∗ | � ∗ � adalah bebas linier dengan � ∗ = � �1 , � ∗ = 0 � Peressini et al. 1988 Teorema 2.5 Kondisi Karush-Kuhn-Tucker Misalkan � ∗ adalah titik reguler untuk masalah . Jika � ∗ adalah minimum lokal untuk masalah , maka terdapat ∗ ℝ sehingga: 1. � ∗ + ∑ ∗ = � ∗ = 0, 2. ∗ � ∗ = 0, untuk = , … , 3. ∗ 0, untuk = , … , Catatan: 1. Fungsi = � + � disebut fungsi Lagrange dan ∗ ini disebut Pengali Lagrange. 2. Tiga syarat di atas dapat menjadi syarat cukup jika fungsi dan fungsi merupakan fungsi konveks. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 186.

2.14 Kesetimbangan