Teorema 2.3 Matriks Definit
Misalkan matriks simetrik berukuran × , dan misalkan ∆ adalah minor
utama ke- dari untuk 1 , maka
1.
definit positif jika dan hanya jika ∆ 0 untuk = 1, , .
2.
definit negatif jika dan hanya jika −1 ∆ 0, untuk = 1, , .
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 17.
Teorema 2.4 MinimumMaksimum Lokal
Misalkan � fungsi yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang
kontinu di ⊂ ℝ . Misalkan �
∗
titik interior bukan titik batas dari dan �
∗
titik kritis dari fungsi . Misalkan � adalah matriks Hessian dari fungsi �.
Maka �
∗
adalah 1.
Minimum lokal untuk � jika �
∗
definit positif. 2.
Maksimum lokal untuk � jika �
∗
definit negatif. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 22.
2.13 Pengoptimuman Taklinear Berkendala
Suatu permasalahan optimasi disebut taklinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk taklinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi
merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan.
Bentuk umum pengoptimuman ini adalah masalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan
� dengan kendala �. Misalkan �
⊂ ℝ dan �, � merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan
pertama yang kontinu. Fungsi � adalah fungsi tujuan dan � 0, =
1, … , , adalah fungsi kendala. Daerah penyelesaian dari fungsi kendala untuk
masalah disebut daerah fisibel, dan titik �
yang terdapat dalam daerah tersebut disebut titik fisibel.
Definisi 20 Titik Reguler
Titik fisibel �
∗
dinamakan titik regular untuk masalah , jika himpunan vektor �
�
∗
| �
∗
�
adalah bebas linier dengan �
∗
= � �1
, �
∗
= 0 �
Peressini et al. 1988
Teorema 2.5 Kondisi Karush-Kuhn-Tucker
Misalkan �
∗
adalah titik reguler untuk masalah . Jika �
∗
adalah minimum lokal untuk masalah , maka terdapat
∗
ℝ sehingga: 1.
�
∗
+ ∑
∗ =
�
∗
= 0, 2.
∗
�
∗
= 0, untuk = , … ,
3.
∗
0, untuk = , … ,
Catatan: 1.
Fungsi = � + � disebut fungsi Lagrange dan
∗
ini disebut Pengali Lagrange.
2. Tiga syarat di atas dapat menjadi syarat cukup jika fungsi dan fungsi
merupakan fungsi konveks. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 186.
2.14 Kesetimbangan
Definisi 21 Kesetimbangan
Kesetimbangan didefinisikan sebagai suatu konstelasi keadaan peubah-peubah tertentu yang saling terkait sedemikian rupa sehingga tidak ada kecenderungan
dalam dirinya perubahan dalam model yang dibangun oleh peubah-peubah tersebut.
Henderson dan Quandt 1980
