Program Penentuan Harga Premi dengan Pendekatan Kedua • Kelas ke-1

ListPlot[{pi3, nj3} ฀ , AxesOrigin → {2730,0}, Frame → True, FrameLabel → {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic] • Kelas ke-4 pi4 = Table[ , { , 2776,3275,0.1}]; q α = 0.866025; sr4 = Table[ q α ∗ 35034375 pi4[[ ]] − 2775 , { , 1, Length[pi4]}]; rj4 = Table[ 35000 ∗ sr4[[ ]] q α , { , 1, Length[sr4]}]; nj4 = Table[ rj4[[ ]] 35034375 , { , 1, Length[sr4]}]; TableForm[{pi4, rj4, nj4}, TableDirections → {Row, Column},฀TableHeadings → {{pi4, rj4, nj4}, Automatic}]; ListPlot[{pi4, nj4} ฀ , AxesOrigin → {2730,0}, Frame → True, FrameLabel → {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic] • Kelas ke-5 pi5 = Table[ , { , 4251,4940,0.1}]; q α = 0.866025; sr5 = Table[ q α ∗ 56187500 pi5[[ ]] − 4250 , { , 1, Length[pi5]}]; rj5 = Table[ 31000 ∗ sr5[[ ]] q α , { , 1, Length[sr5]}]; nj5 = Table[ rj5[[ ]] 56187500 , { , 1, Length[sr5]}]; TableForm[{pi5, rj5, nj5}, TableDirections → {Row, Column},฀TableHeadings → {{pi5, rj5, nj5}, Automatic}]; ListPlot[{pi5, nj5} ฀ , AxesOrigin → {4250,0}, Frame → True, FrameLabel → {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic] ABSTRACT USEP SHOLAHUDIN. Premium Pricing, Demand Function, and Equilibrium in Heterogenous Portfolio. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. A heterogenous portfolio is a collection of insureds, which can be grouped into several risk classes. The insurer determines premium pricing in each risk class, using a certain pricing function. Pricing function is a function that states the amount of the premium based on the number of insured in each class. Each class has its own demand function, which determines the number of insured in this class as a function of the premium. This thesis aims to study the interaction between the number of insured in each class of a heterogenous portfolio and its premium. First, the insurer determines the premiums based on some initial number of insured in each class. Then, market reacts by updating the number of the policyholders. As a consequence, the insurer updates the premium. This process repeats until a certain condition is satisfied. This process has been proved to have an equilibrium point. The characteristics of the equilibrium point are determined by the fixed-point theorem. Finally, to illustrate the theory, the calculation of premium based on a demand function in equilibrium point for five risk classes is applied using Mathematica software. Keywords: heterogenous portfolio, premium pricing, demand function, equilibrium point, the fixed-point theorem RINGKASAN USEP SHOLAHUDIN. Penentuan Harga Premi, Fungsi Permintaan, dan Kesetimbangannya pada Portfolio Heterogen. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Suatu portfolio disebut portfolio heterogen karena terdiri dari beberapa kelas risiko. Harga premi di tiap kelas risiko ditentukan berdasarkan rataan dan ragam dari sebaran klaimnya. Penentuan harga premi merupakan salah satu fungsi yang rawan dalam perusahaan asuransi. Harga premi yang ditentukan harus cukup tinggi untuk meliput beban pembayaran klaim, tetapi cukup rendah sehingga kompetitif dengan harga premi perusahaan asuransi lain. Penentuan harga premi menggunakan dua prinsip. Prinsip pertama, harga premi yang ditentukan haruslah wajar. Tingkat kewajaran harga premi terukur dari besarnya jarak antara pendapatan dari premi total dengan pengeluaran dari klaim total. Prinsip kedua, peluang kebangkrutan perusahaan asuransi haruslah rendah, dan besarnya adalah �, 0 � 1. Peluang kebangkrutan adalah peluang dimana besarnya pengeluaran klaim total lebih besar daripada pendapatan premi total. Dua prinsip tersebut, menjadi dasar untuk menentukan harga premi di tiap kelas risiko, dan dimodelkan menggunakan pendekatan dua masalah pengoptimuman. Pendekatan pertama, mendapatkan harga premi optimal, dengan cara meminimumkan penjumlahan nilai harapan dari kuadrat selisih antara klaim total dengan premi total yang terboboti, dengan kendala peluang, peluang kebangkrutan lebih kecil dari suatu nilai yang ditetapkan. Pendekatan kedua, meminimumkan peluang kebangkrutan, dengan kendala, jumlah nilai harapan dari kuadrat selisih antara klaim total dengan premi total yang terboboti lebih kecil dari suatu nilai yang ditetapkan. Pemrograman taklinear digunakan untuk menemukan solusi optimum dari dua pendekatan tersebut. Solusi dari dua pendekatan disebut fungsi harga. Fungsi harga adalah fungsi yang menyatakan besarnya harga premi, berdasarkan jumlah peserta di tiap kelas risiko. Setiap kelas risiko memiliki fungsi permintaan masing-masing. Fungsi permintaan yaitu fungsi yang menyatakan jumlah peserta, berdasarkan harga preminya pada masing-masing kelas risiko. Tujuan dari penulisan tesis ini adalah, mempelajari interaksi antara jumlah peserta asuransi pada portfolio heterogen dengan harga preminya. Pertama, perusahaan asuransi menentukan harga premi di tiap kelas risiko menggunakan fungsi harga. Selanjutnya, pasar bereaksi, sehingga menyebabkan terjadinya perubahan jumlah peserta di tiap kelas risiko. Sebagai konsekuensinya, perusahaan mengantisipasi dengan perubahan harga premi, dan proses ini dapat berulang sampai mencapai suatu kondisi yang diharapkan. Proses tersebut telah dibuktikan memiliki suatu titik kesetimbangan. Eksistensi dan karakteristik dari titik kesetimbangan ditentukan dengan menggunakan teorema titik tetap. Ketunggalan dari titik kesetimbangan tidak dibuktikan, karena berkenaan dengan masalah irisan antara dua fungsi peubah banyak. Pada perhitungan secara numerik, dapat diperoleh beberapa titik kesetimbangan. Untuk beberapa kasus yang menggunakan iterasi, proses tercapainya titik kesetimbangan bergantung pada penetapan titik awalnya. Pada bagian akhir, dilakukan simulasi perhitungan harga premi berdasarkan fungsi permintaan di titik kesetimbangan, pada portfolio dengan lima kelas risiko. Hasil yang diperoleh, penghitungan harga premi dengan fungsi harga melalui pendekatan pertama dan kedua adalah relatif sama. Hal tersebut dapat dilihat melalui grafik fungsi harga dari kedua pendekatan. Titik kesetimbangan untuk kedua pendekatan adalah berbeda. Perbedaan terjadi karena, berbedanya penentuan nilai dari kedua pendekatan. Nilai adalah perbandingan ragam pada kelas ke- , dengan ragam seluruh kelas. Akibatnya, perhitungan harga premi dan jumlah peserta di tiap kelas risiko berbeda. Kata kunci: portfolio heterogen, penentuan harga premi, pemrograman taklinear, fungsi permintaan, titik kesetimbangan, teorema titik tetap

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam menjalani kehidupan ini, orang senantiasa menghadapi risiko-risiko kerugian yang akan menimpanya. Pengelolaan risiko adalah sangat penting demi kelangsungan hidup yang lebih baik. Cara bijaknya adalah memindahkan risiko kepada perusahaan asuransi, dengan membeli suatu produk asuransi. Pemilik polis membayar suatu produk asuransi melalui premi. Penentuan harga premi merupakan salah satu fungsi yang penting dalam perusahaan asuransi. Harga premi yang ditentukan dikatakan wajar yaitu, harus cukup tinggi untuk meliput beban pembayaran klaim, tetapi cukup rendah sehingga kompetitif dengan harga premi perusahaan asuransi lain. Aktuaris adalah orang yang menghitung harga premi pada suatu perusahaan asuransi, dan perhitungannya dibuat dalam suatu portfolio. Suatu portfolio disebut portfolio heterogen karena terdiri dari beberapa kelas risiko. Perhitungan harga premi ditentukan berdasarkan kelas risiko dengan parameter rataan dan ragam masing-masing. Beberapa penelitian mengenai penentuan harga premi telah dilakukan sebelumnya, antara lain oleh Bowers et al. 1997 yang menyatakan bahwa pendekatan standar untuk penentuan harga premi berdasarkan konsep faktor loading . Menurut konsep ini harga premi untuk suatu risiko the premium for a risk adalah = 1 + �, dimana merupakan rataan dari risiko the risk’s mean , dan � adalah faktor loading. Faktor loading diperoleh dengan syarat peluang kebangkrutan insolvency probability di bawah nilai yang ditetapkan yaitu �, 0 � 1. Menurut Zaks et al. 2006 dan Frostig et al. 2008, penentuan harga premi pada portfolio heterogen merupakan solusi dari suatu masalah pengoptimuman. Proses pengoptimuman menggunakan dua prinsip. Prinsip pertama adalah peluang kebangkrutan ditetapkan sebesar �. Peluang kebangkrutan adalah peluang dimana pengeluaran oleh klaim total lebih besar dari penerimaan dari premi total. Prinsip yang kedua yaitu harga premi akan diperhitungkan naik pada saat perkiraan jumlah klaim naik. Menurut Kliger dan Levikson 1998, banyaknya peserta asuransi dan harga premi merupakan suatu fungsi turun � = �, artinya bila bertambah maka berkurang dan sebaliknya. Fungsi yang menyatakan banyak peserta asuransi menurut harga preminya dikatakan sebagai fungsi permintaan demand function atau = . Pada penelitian ini, akan dibahas mengenai hubungan tarik menarik interplay antara penentuan besarnya harga premi, dengan banyaknya peserta di tiap kelas risiko pada portfolio heterogen. Untuk para pemegang polis, perusahaan-perusahaan asuransi menentukan harga premi, selanjutnya pasar bereaksi. Hal tersebut dapat mengakibatkan terjadinya perubahan jumlah peserta di tiap kelas risiko, sehingga perusahaan melakukan kebijakan dengan menentukan harga premi yang baru, dan seterusnya. Akan diperlihatkan dalam proses ini adanya titik kesetimbangan equilibrium point. Tesis ini sebagai rekonstruksi dan pengembangan dari jurnal Zaks et al. 2006, “Optimal Pricing of a Heterogeneous Portfolio for a Given Risk Level” dan Frostig et al. 2008 “Pricing a Heterogeneous Portfolio Based on A Demand Function ”.

1.2 Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang, tujuan penelitian ini sebagai berikut: 1. Mengkaji penentuan harga premi di tiap kelas risiko, sehingga menghasilkan fungsi harga. Fungsi harga adalah fungsi yang menyatakan besarnya harga premi, berdasarkan banyaknya jumlah peserta di tiap kelas risiko. 2. Menentukan adanya suatu fungsi permintaan di tiap kelas risiko. Fungsi permintaan adalah fungsi yang menyatakan banyaknya peserta asuransi, berdasarkan besarnya harga premi di tiap kelas risiko. 3. Menentukan titik kesetimbangan dari besarnya harga premi berdasarkan fungsi permintaan di tiap kelas risiko. 4. Memberikan simulasi perhitungan besarnya harga premi berdasarkan fungsi permintaan, di tiap kelas risiko pada titik kesetimbangan.

1.3 Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Penentuan harga premi di tiap kelas risiko, diperoleh menggunakan pendekatan dua masalah pengoptimuman. 2. Solusi dari pendekatan dua masalah pengoptimuman diperoleh dengan menggunakan program taklinear. 3. Menentukan titik kesetimbangan dengan menggunakan teorema titik tetap. 4. Program komputasi dengan Software Mathematica.

1.4 Sistematika Pembahasan

Penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen dibahas dalam lima bab. Bab I berisi latar belakang, tujuan penelitian, ruang lingkup penelitian, dan sistematika pembahasan. Bab II membahas landasan teori yaitu, percobaan acak, ruang contoh, kejadian dan peluang, peubah acak dan sebarannya, nilai harapan, simpangan baku dan ragam dari peubah acak yang diskret, teorema limit pusat, model risiko individu jangka pendek, model peubah acak klaim individu, himpunan dan fungsi konveks, kekontinuan suatu fungsi dan sifat-sifatnya, himpunan kompak dan sifat-sifatnya, fungsi banyak variabel, matriks definit dan pengoptimuman, pengoptimuman taklinear berkendala, dan titik kesetimbangan. Bab III membahas tentang penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan titik kesetimbangannya yaitu penentuan harga premi secara umum pada portfolio homogen dan heterogen, penentuan harga premi berdasarkan pendekatan dua masalah pengoptimuman, fungsi harga dan fungsi permintaan, eksistensi dan karakteristik dari titik kesetimbangan. Bab IV membahas tentang perhitungan harga premi berdasarkan fungsi permintaan pada titik kesetimbangannya, yaitu perhitungan harga premi dengan pendekatan pertama, perhitungan harga premi dengan pendekatan kedua,