� = +
+ ⋱
⋱ ⋱
− −
+
� adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi kesamaan:
� = � ⋱
� 1 +
1 ⋱
1 1 +
� ⋱
�.
Dengan menggunakan Lema 1 dan 2, � adalah matriks definit positif begitu juga dengan matriks Hessian , sehingga
�
∗
adalah solusi optimum untuk pendekatan pertama
∎
3.2.2 Pendekatan kedua
Penentuan vektor premi � = , … , , dengan cara meminimumkan
peluang kebangkrutan dan sebagai kendala adalah nilai harapan dari ∑ � −
=
� yang terboboti di bawah suatu nilai yang telah ditentukan, yaitu:
min
�
� �� �
= =
��,
dengan kendala:
� � 1
� −
� �
=
Solusi untuk pendekatan kedua adalah: =
+ � = 1, , 3.17
dimana =
∑
=
, =
∑
,
, =
∑
=
,
=
dengan menggunakan asumsi alokasi proporsional ditentukan nilai
= ∑
� − �
=
dan =
∑
� =
+ ∑
� − �
=
. Untuk membuktikan pendekatan kedua, dengan asumsi jumlah besar
sehingga berlaku teorema limit pusat, dari peluang kebangkrutan diperoleh � �
=
� = � −
� ∑
=
− ∑
=
� �. 3.18
Pada persamaan 3.18, meminimalkan
−� �
adalah sama dengan memaksimumkan
∑ �� −� �
=
�
atau memaksimumkan ∑
� − �
=
karena � 0 adalah
konstanta terhadap . Dengan menggunakan asumsi alokasi proporsional ditentukan nilai dan
yaitu ∑
� =
dan =
− ∑
� =
, dimana =
∑ � − �
=
sehingga kendala pada pendekatan kedua adalah =
∑
� =
+ ∑
� −
=
� , selanjutnya pendekatan kedua menjadi
maks
�
�� � − �
=
�
dengan kendala:
� �
=
+ � � − �
=
=
Misalkan =
� − �, dan karena = − ∑
� =
, dengan menyubstitusi dan , diperoleh
maks
�
��
=
�
dengan kendala:
� −
=
= 0.
Untuk menemukan solusi pengoptimuman tersebut dengan menggunakan kondisi
karush-kuhn-tucker dengan fungsi lagrange
, = �
=
+ ��
−
=
�,
turunan parsialnya adalah ,
= + 2
= 0 = 1,
, 3.19 dan
, =
� −
=
= 0 3.20
dari persamaan 3.19 diperoleh =
− 2
= 1, , . 3.21
Karena 0 dan bernilai negatif, dengan menyubstitusi persamaan 3.21
kedalam persamaan 3.20 diperoleh
� �−
2 �
= 1
4
=
�
=
= , 3.22
karena 0, menyubstitusi nilai dari persamaan 3.22 ke persamaan 3.21 menghasilkan
∗
= −
2 =
� = 1,
, . 3.23
Selanjutnya akan dinyatakan bahwa titik
∗
=
∗
, ,
∗
adalah titik optimum, misalkan
� , , � ℝ adalah buah bilangan skalar. Titik
∗
adalah solusi dari pendekatan kedua jika dan hanya jika:
�
=
�
∗ =
,
untuk setiap titik = ,
, ℝ dengan
0, = 1, , berlaku
� 1
−
=
= 0. 3.24
Misalkan nilai =
∗
+ � = 1, , , maka persamaan 3.24 menjadi:
� 1
�
∗
+ � � = .
=
3.25
Menyubstitusi nilai
∗
dari persamaan 3.23 ke persamaan 3.25 menghasilkan
� 1
� � + � � =
=
� � + 2� � + � � =
=
2 � �
=
� + �
=
� = 0
�
=
� = − 1
2 � �
=
� 0
sehingga,
�
=
= ��
∗
+ � �
=
= �
∗ =
+ �
=
� �
∗ =
.
Karena
∗
adalah titik optimum, menurut persamaan 3.23 dan dari asumsi =
� − �, maka premi optimum untuk kelas ke- adalah:
= +
� = 1,
, ∎
3.3 Fungsi Harga dan Fungsi Permintaan
