3. Alokasi proporsional
Ragam tiap kelas dibagi secara proporsional oleh ragam keseluruhan yaitu � = ∑
�
=
, di mana rasionya adalah =
� �
sehingga =
�
. Harga premi untuk kelas ke- adalah
= +
−�
� .
Selanjutnya dengan berdasar pada pendekatan global, penentuan harga premi di tiap kelas risiko diperoleh dari solusi pendekatan dua masalah
pengoptimuman alokasi optimum.
3.2 Penentuan Harga Premi Berdasarkan Pendekatan Dua Masalah
Pengoptimuman
Penentuan harga premi dengan alokasi optimum menggunakan dua kondisi yaitu:
1. Menggunakan prinsip pertama yaitu peluang kebangkrutan ditetapkan sebesar
�, 0 � 1. 2.
Menggunakan prinsip kedua yaitu, premi wajar yang akan ditetapkan dihitung dengan meminimisasi fungsi jarak distance function. Fungsi jarak adalah
fungsi berdasarkan kuadrat selisih antara risiko total, dikurangi premi total yang terboboti.
3.2.1 Pendekatan Pertama
Menentukan vektor premi � = , … , dengan cara, meminimumkan
penjumlahan nilai harapan dari kuadrat selisih antara risiko total dengan premi total yang terboboti, dengan kendala peluang dari seluruh klaim melebihi premi
total peluang kebangkrutan di bawah nilai �, yaitu:
min
�
�� 1
� − �
=
�
dengan kendala,
��
=
�
=
� �
, … , adalah rasio dimana
=
� �
. Solusi untuk pendekatan pertama adalah: =
+
−�
�, 3.6
dimana = ∑
=
dan
−�
adalah persentil 1 − � dari sebaran normal baku.
Untuk membuktikan pendekatan pertama, digunakan dua Lema mengenai matriks definit positif berikut.
Lema 1
Misalkan adalah matriks definit positif dan misalkan adalah matriks
taksingular, dengan ukuran ×
. Misalkan adalah matriks transpos dari
matriks , maka =
adalah matriks definit positif.
Bukti : lihat pada lampiran 3a.
Lema 2
Misalkan ,
, adalah bilangan positif, dan misalkan matriks
adalah:
= �
1 + 1
1 1
1 + ⋱
⋱ ⋱
1 1
1 1 +
�
maka matriks adalah matriks definit positif.
Bukti : lihat pada lampiran 3b.
. Kendala dari pendekatan pertama yaitu
�∑
=
∑
=
� � adalah ekuivalen dengan persamaan 3.3 yaitu
∑
=
= +
−�
�, sehingga pendekatan pertama menjadi:
min
�
�� 1
� − �
=
�
dengan kendala,
�
=
= +
−�
�.
Untuk = 1, ,
� = � � =
� − �
= � −
� − � − �
= � −
� − � −
� dan didapatkan
� − � = � + �
− �. 3.7
Substitusi Persamaan 3.7 kedalam fungsi tujuan dan diperoleh
min
�
�� � 1
� − � �
=
� =
= min
�
�� � 1
� � + � −
� ��
=
�
= min
�
�� �
=
+ �
1
=
� −
� �.
Karena ∑
� =
adalah suatu konstanta terhadap , sehingga bila dieliminasi
tidak mengubah solusi optimal.
Misalkan =
− , 1
, maka dengan menyubstitusi pada fungsi tujuan dan kendala dari pendekatan pertama diperoleh
min
�
�� � 1
�
=
�,
dengan kendala,
� = −
−�
�.
=
Kendala tersebut dapat ditulis menjadi:
− = �
=
+
−�
�. 3.8
Misalkan = ∑
=
, substitusikan persamaan 3.8 ke dalam diperoleh
= 1
��
=
+
−�
�� + � 1
=
. 3.9
Selanjutnya, pendekatan pertama menjadi: min
�
{ }. Karena fungsi adalah suatu fungsi dengan peubah , maka turunan parsial
pertama dari persamaan 3.9 adalah
= −2
��
=
+
−�
�� − 2
= 2, , . 3.10
Untuk mendapatkan nilai optimal, maka melalui uji turunan pertama
�� ��
=0 menghasilkan
−2 ��
=
+
−�
�� − 2
= 0
1 �
=
+ 1
= −
−�
� .
Jika =
maka untuk = 2, , menghasilkan suatu sistem persamaan
linear ,
, yaitu:
� 1
+ 1
� +
1 �
= ≠
= −
−�
�
� 1
+ 1
� +
1 �
= ≠
= −
−�
�
� 1
+ 1
� +
1 �
= ≠
= −
−�
�
dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linear tersebut menjadi 1
+ 1
1 1
1 1
+ 1
1 1
1 ⋱
1 1
⋱ 1
1 ⋱
1 1
1 1
+ 1
= −
−�
� −
−�
� −
−�
� −
−�
� −
−�
� −
−�
� .
Baris pertamanya merupakan persamaan
� 1
+ 1
� +
1 �
=
= −
−�
� . 3.11
Selanjutnya dengan mengurangkan tiap baris dengan baris berikutnya dan seterusnya, dituliskan dalam bentuk matriks gandeng augmented matrix dan
diperoleh +
−
−�
�
− −
⋱ ⋱ ⋱
⋱ ⋱ −
− .
Untuk baris kedua sampai baris ke- berlaku =
− = 3,
, . 3.12 Substitusikan persamaan 3.12 ke persamaan 3.11 menghasilkan
�
=
= −
−�
�
karena = ∑
=
, maka =
−
−�
� 3.13
substitusikan persamaan 3.13 ke persamaan 3.12 menghasilkan =
−
−�
� , = 3,
, 3.14 substitusikan persamaan 3.13 dan 3.14 ke dalam persamaan 3.8
menghasilkan =
−
−�
� . 3.15
Akhirnya, dari persamaan 3.13, 3.14, 3.15 diperoleh =
−
−�
� , = 1,
, . 3.16 Karena
= dan
= −
maka diperoleh
∗
= +
−�
� , = 1,
,
dan vektor �
∗
=
∗
, ,
∗
adalah titik kritisnya. Selanjutnya akan dibuktikan matriks Hessian dari persamaan 3.9 pada
�
∗
merupakan matriks definit positif. Turunan parsial kedua dari persamaan 3.9 terhadap adalah
= 2
+ 2
= 2
+ , = 2,
,
= 2
2 .
Matriks Hessiannya:
= 2
+ 2
2 2
2 2
+ 2
2 ⋱
⋱ ⋱
2 2
2
−
2 +
Karena matriks definit positif tidak berubah jika matriks tersebut dikalikan dengan bilangan skalar positif, sehingga matriks Hessian jika dikalikan dengan
2 menjadi
� = +
+ ⋱
⋱ ⋱
− −
+
� adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi kesamaan:
� = � ⋱
� 1 +
1 ⋱
1 1 +
� ⋱
�.
Dengan menggunakan Lema 1 dan 2, � adalah matriks definit positif begitu juga dengan matriks Hessian , sehingga
�
∗
adalah solusi optimum untuk pendekatan pertama
∎
3.2.2 Pendekatan kedua
