Fungsi Harga dan Fungsi Permintaan
Lema 3
Misalkan , dan , adalah ruang metrik. Fungsi : → dikatakan
kontinu pada titik jika dan hanya jika lim
→∞
= untuk setiap
barisan { } di dengan lim
→∞
= .
Bukti pada lampiran 3c.
Lema 4 Heine-Borel
Misalkan gugus � ⊆ ℝ , � dikatakan kompak jika dan hanya jika tertutup dan
terbatas. Bukti pada lampiran 3d.
Misalkan sebarang dan didefinisikan
= ,
= ,
,
+
= Diketahui kompak, maka menurut Lema 4 tentang kekompakan tertutup.
Misalkan { } barisan di ,
→ , dan
� 0 sebarang. Menurut Lema 3 terdapat
� sedemikian rupa sehingga � , � �, bila ,
�, untuk asli, atau
lim
→∞
= ∗
Di pihak lain berdasarkan konstruksi di atas, diperoleh lim
→∞
= lim
→∞ +
= ∗∗
dari ∗ dan ∗∗ diperoleh = .
Pada perhitungan penentuan besar premi dan jumlah peserta di tiap kelas risiko, menggunakan asumsi batasan intervalnya yaitu:
a � , �, = 1, , , di mana 0
� b
� ,
�, = 1, , , di mana �
. Dengan menggunakan teorema 3.1 dan asumsi batasan interval, maka fungsi
harga pada persamaan 3.24 menjadi � = ∧ , , ∧ . 3.27
Teorema 3.2
Misalkan fungsi permintaan adalah fungsi kontinu, dengan menggunakan asumsi batasan interval diperoleh
� = �� �� = � �� , , ��, maka pada titik kesetimbangan terdapat vektor premi
�
∗
=
∗
, ,
∗
yang memenuhi:
�
∗
=
∗
, ,
∗
= �
∗
3.28
Bukti:
Karena fungsi � dan � adalah fungsi kontinu, dengan menggunakan
asumsi batasan interval yang mengakibatkan bahwa adalah kontinu dari ke , dimana
= [ ,
] × × [
, ], di mana hasilnya didapat berdasarkan
teorema titik tetap. Teorema 3.2 membuktikan eksistensi titik kesetimbangan. Ketunggalan
dari titik kesetimbangan tidak dibuktikan, karena berkenaan dengan masalah irisan antara dua fungsi peubah banyak. Pada perhitungan secara numerik, dapat
diperoleh beberapa titik kesetimbangan. Untuk beberapa kasus yang menggunakan iterasi, proses tercapainya titik kesetimbangan bergantung pada
penetapan titik awalnya.