Lampiran 3
a. Bukti Lema 1 Lema 1
Misalkan adalah matriks definit positif dan misalkan adalah matriks nonsingular, dengan ukuran
× . Misalkan
adalah matriks transpos dari matriks , maka =
adalah matriks definit positif.
Bukti:
Misalkan ℝ ≠ 0 dan =
. Matriks adalah nonsingular dan ≠ 0, ≠
0. Misalkan adalah matriks definit positif, maka 0 untuk setiap
≠ 0 juga
0. Sehingga =
= =
∎
b. Bukti Lema 2 Lema 2
Misalkan ,
, adalah bilangan positif, dan misalkan matriks
adalah:
= �
1 + 1
1 1
1 + ⋱
⋱ ⋱
1 1
1 1 +
�
Sehingga matriks adalah matriks definit positif.
Bukti:
Suatu matriks dikatakan matriks definit positif jika dan hanya jika minor utama dari matriks tersebut positif. Untuk pembuktian Lema ini dengan induksi untuk matriks
persegi berukuran . Akan dibuktikan Lema berlaku untuk
= 1. Misalkan bahwa matriks
−
adalah matriks definit positif, sehingga semua minor utamanya adalah positif. Akan
diperlihatkan bahwa | | 0, dimana | | adalah determinan dari matriks . Karena
| | = |
| + | |, dimana
= ��
1 + ⋱
1 1 +
−
1 �� , dan
= ��
1 + 1
⋱ 1
1 +
−
1 1
��
.
Determinan dari untuk kolom terakhir adalah |
| = −1
|
−
| 0, dimana
0 dan |
−
| 0. Untuk menentukan |
|, kurangi kolom terakhir dari masing-masing kolom lainnya, dan didapat
| | =
�� 1 +
1 ⋱
1 1 +
−
1 1
�� = �� 1
⋱
−
1 �� = �
− =
0.
Sehingga,
| | 0.
c. Bukti Lema 3 Lema 3
Misalkan , dan , adalah ruang metrik. Fungsi : → dikatakan kontinu
pada titik jika dan hanya jika lim
→∞
= untuk setiap barisan
{ } di dengan lim
→∞
= .
Bukti:
⇒ Misalkan kontinu di dan { } adalah barisan di dengan lim
→∞
= .
Jika diambil � 0, ada � 0 sedemikian rupa sehingga jika , � maka
� , � �, dan ada asli sedemikian rupa sehingga untuk , jika
, � maka � , � �. Berarti lim
→∞
= .
⇐ Misalkan { } adalah barisan di dengan lim
→∞
= . Jika
lim
→∞
= maka untuk setiap
� 0, ada � 0 sedemikian rupa sehingga jika
, � maka � , � �. Dan untuk setiap
ada sedemikian rupa sehingga jika ,
� maka � , � �.
d. Bukti Lema 4 Lema 4 Heine-Borel
Misalkan gugus � ⊆
ℝ
, � dikatakan kompak jika dan hanya jika tertutup dan
terbatas.
Bukti:
⇒ Misalkan � kompak, � ⊆
ℝ
. Akan dibuktikan � tertutup, atau � terbuka.
Misalkan
ℝ
, �. Jika
�, � , � dan , masing-masing adalah persekitaran dari dan .
Maka akan diperoleh persekitaran dari yaitu yang terdiri dari semua titik
� dimana
= {
ℝ
∶ | − | 1 }. Karena � kompak, maka terdapat ,
, ,
di � berhingga sedemikian rupa sehingga � ⊂
, =
. Jika = ,
adalah persekitaran dari yang tidak berpotongan dengan
. Maka ⊂ �
�
, dan adalah titik dalam dari �. Dengan demikian �
�
terbuka. Akan dibuktikan
� terbatas. Misalkan
ℝ
, �, , adalah bola buka
dengan pusat yang berjari-jari . Untuk setiap bilangan asli misalkan gugus terbuka
didefinisikan sebagai = { , : , }. Dengan demikian,
ruang
ℝ
dan juga � akan terdiri dari gabungan gugus ,
. Karena � kompak
maka untuk setiap berlaku
� ⊆ dan berarti
� terbatas.
⇐ Jika � tertutup dan terbatas, maka akan dibuktikan � kompak. Misalkan � tertutup dan terbatas, {
} adalah barisan di �,
→ , untuk �. Untuk setiap
titik � terdapat bola buka , yang terdiri atas untuk berhingga.
Gabungan dari semua bola buka , akan menjadi selimut buka dari �, dan
� ⊆ , . Karena
� terbatas, maka ada berhingga sedemikian rupa sehingga � ⊆
, .
Lampiran 5 Program Penentuan Harga Premi
a. Program Penentuan Harga Premi dengan Pendekatan Pertama • Kelas ke-1
pi1 = Table[i, {i, 105.1, 120, 0.01}];
q α = 0.8416;
sr1 = Table[ q
α ∗ 214475 pi1[[ ]]
− 105 , { , 1, Length[pi1]}];
rj1 = Table[ 51000
∗ sr1[[ ]] q
α , { , 1, Length[sr1]}];
nj1 = Table[ rj1[[ ]]
214475 , { , 1, Length[sr1]}];
TableForm[{pi1, rj1, nj1}, TableDirections → {Row, Column},TableHeadings
→ {{pi1, rj1, nj1}, Automatic}]; ListPlot[{pi1, nj1}
, AxesOrigin → {105,0}, Frame → True, FrameLabel
→ {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic]
• Kelas ke-2
pi2 = Table[ , { , 1001,1110,0.1}]; q
α = 0.8416;
sr2 = Table[ q
α ∗ 9020000 pi2[[ ]]
− 1000 , { , 1, Length[pi2]}];
rj2 = Table[ 48000
∗ sr2[[ ]] q
α , { , 1, Length[sr2]}];
nj2 = Table[ rj2[[ ]]
9020000 , { , 1, Length[rj2]}];
TableForm[{pi2, rj2, nj2}, TableDirections → {Row, Column},TableHeadings
→ {{pi2, rj2, nj2}, Automatic}]; ListPlot[{pi2, nj2}
, AxesOrigin → {1000,0}, Frame → True, FrameLabel
→ {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic]
• Kelas ke-3
pi3 = Table[ , { , 2731,3080,0.1}]; q
α = 0.8416;
sr3 = Table[ q
α ∗ 28058100 pi3[[ ]]
− 2730 , { , 1, Length[pi3]}];
rj3 = Table[ 38000
∗ sr3[[ ]] q
α , { , 1, Length[sr3]}];
nj3 = Table[ rj3[[ ]]
28058100 , { , 1, Length[sr3]}];
TableForm[{pi3, rj3, nj3}, TableDirections → {Row, Column},TableHeadings
→ {{pi3, rj3, nj3}, Automatic}]; ListPlot[{pi3, nj3}
, AxesOrigin → {2730,0}, Frame → True, FrameLabel
→ {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic]
• Kelas ke-4
pi4 = Table[ , { , 2776,3275,0.1}]; q
α = 0.8416;
sr4 = Table[ q
α ∗ 35034375 pi4[[ ]]
− 2775 , { , 1, Length[pi4]}];
rj4 = Table[ 35000
∗ sr4[[ ]] q
α , { , 1, Length[sr4]}];
nj4 = Table[ rj4[[ ]]
35034375 , { , 1, Length[sr4]}];
TableForm[{pi4, rj4, nj4}, TableDirections → {Row, Column},TableHeadings
→ {{pi4, rj4, nj4}, Automatic}]; ListPlot[{pi4, nj4}
, AxesOrigin → {2730,0}, Frame → True, FrameLabel
→ {Harga Premi π , Jumlah Peserta n }, AxesStyle → Directive[Black, 10], GridLines → Automatic]
• Kelas ke-5
pi5 = Table[ , { , 4251,4940,0.1}]; q
α = 0.8416;
sr5 = Table[ q
α ∗ 56187500 pi5[[ ]]
− 4250 , { , 1, Length[pi5]}];
rj5 = Table[ 31000
∗ sr5[[ ]] q
α , { , 1, Length[sr5]}];
nj5 = Table[ rj5[[ ]]
56187500 , { , 1, Length[sr5]}];
TableForm[{pi5, rj5, nj5}, TableDirections → {Row, Column},TableHeadings
→ {{pi5, rj5, nj5}, Automatic}];
Kategori