Penentuan Harga Premi pada Portfolio Heterogen

3. Alokasi proporsional Ragam tiap kelas dibagi secara proporsional oleh ragam keseluruhan yaitu � = ∑ � = , di mana rasionya adalah = � � sehingga = � . Harga premi untuk kelas ke- adalah = + −� � . Selanjutnya dengan berdasar pada pendekatan global, penentuan harga premi di tiap kelas risiko diperoleh dari solusi pendekatan dua masalah pengoptimuman alokasi optimum.

3.2 Penentuan Harga Premi Berdasarkan Pendekatan Dua Masalah

Pengoptimuman Penentuan harga premi dengan alokasi optimum menggunakan dua kondisi yaitu: 1. Menggunakan prinsip pertama yaitu peluang kebangkrutan ditetapkan sebesar �, 0 � 1. 2. Menggunakan prinsip kedua yaitu, premi wajar yang akan ditetapkan dihitung dengan meminimisasi fungsi jarak distance function. Fungsi jarak adalah fungsi berdasarkan kuadrat selisih antara risiko total, dikurangi premi total yang terboboti.

3.2.1 Pendekatan Pertama

Menentukan vektor premi � = , … , dengan cara, meminimumkan penjumlahan nilai harapan dari kuadrat selisih antara risiko total dengan premi total yang terboboti, dengan kendala peluang dari seluruh klaim melebihi premi total peluang kebangkrutan di bawah nilai �, yaitu: min � �� 1 � − � = � dengan kendala, �� = � = � � , … , adalah rasio dimana = � � . Solusi untuk pendekatan pertama adalah: = + −� �, 3.6 dimana = ∑ = dan −� adalah persentil 1 − � dari sebaran normal baku. Untuk membuktikan pendekatan pertama, digunakan dua Lema mengenai matriks definit positif berikut. Lema 1 Misalkan adalah matriks definit positif dan misalkan adalah matriks taksingular, dengan ukuran × . Misalkan adalah matriks transpos dari matriks , maka = adalah matriks definit positif. Bukti : lihat pada lampiran 3a. Lema 2 Misalkan , , adalah bilangan positif, dan misalkan matriks adalah: = � 1 + 1 1 1 1 + ⋱ ⋱ ⋱ 1 1 1 1 + � maka matriks adalah matriks definit positif. Bukti : lihat pada lampiran 3b. . Kendala dari pendekatan pertama yaitu �∑ = ∑ = � � adalah ekuivalen dengan persamaan 3.3 yaitu ∑ = = + −� �, sehingga pendekatan pertama menjadi: min � �� 1 � − � = � dengan kendala, � = = + −� �. Untuk = 1, , � = � � = � − � = � − � − � − � = � − � − � − � dan didapatkan � − � = � + � − �. 3.7 Substitusi Persamaan 3.7 kedalam fungsi tujuan dan diperoleh min � �� � 1 � − � � = � = = min � �� � 1 � � + � − � �� = � = min � �� � = + � 1 = � − � �. Karena ∑ � = adalah suatu konstanta terhadap , sehingga bila dieliminasi tidak mengubah solusi optimal.