Definisi 10 Sebaran Normal
Peubah acak dikatakan peubah acak normal, dengan parameter dan � jika
fungsi kepekatan peluang bagi adalah: ; ,
� = 1
�√2
− −� �
⁄
, − ∞ ∞
Ross 1996
2.3 Nilai Harapan Definisi 11 Nilai Harapan
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi peluang , maka nilai
harapan dari X, yang dinotasikan dengan adalah =
� , asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak.
Hogg et al. 2005
Teorema 2.1 Sifat-sifat Nilai Harapan
Misalkan dan peubah acak dengan nilai harapan berturut-turut dan maka berlaku:
1. Jika
0, maka 0.
2. Jika ,
ℝ maka +
= +
. 3.
Jika X adalah peubah acak konstan, dengan = = 1 untuk suatu konstanta, maka = .
4. Jika dan adalah bebas stokastik maka = .
Bukti pada lampiran 1.
2.4 Simpangan Baku dan Ragam dari Peubah Acak Diskret Definisi 12 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan = adalah nilai harapan dari , dengan fungsi sebaran
, maka dan
� masing-masing adalah ragam dan simpangan baku didefinisikan sebagai
= [ − ] = � − dan � = � [ − ]
Ghahramani 2005
2.5 Teorema Limit Pusat Teorema 2.2 Teorema Limit Pusat
Misalkan ,
, ,
adalah suatu barisan peubah acak yang
menyebar bebas stokastik, masing-masing dengan rataan dan ragam
� . Jika
= +
+ +
− �√
maka konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis
�⎯⎯� Normal 0,1 untuk → ∞, atau
lim
→∞
= 1
√2 �
−
.
−∞
Ross 1996 Bukti pada lampiran 2.
2.6 Model Risiko Individu Jangka Pendek
Dalam perhitungan asuransi, misalkan peubah acak kerugian dari tiap risiko dilambangkan dengan . Model risiko individu jangka pendek didefinisikan:
= +
+ +
dimana menyatakan besarnya kerugian tertanggung dari unit ke- , dan
adalah banyaknya unit risiko tertanggung, dan dikatakan jangka pendek karena tidak mempertimbangkan perubahan nilai uang.
Bowers et al. 1997
2.7 Model Peubah Acak Klaim Individu
Pada suatu produk asuransi jiwa dalam satu jangka pembayaran, misalkan peserta membayar sebesar , peluang klaim dari peserta sebesar . Peubah acak
klaim dengan fungsi massa peluang
= = = �
1 −
, = 0
, =
, selainnya dan fungsi sebaran peluangnya
= =
� 1
− 1
, 0,
,0 ,
, .
Dari fungsi massa peluang didapat: =
= =
1 − .
Peubah acak juga dapat ditulis dalam =
, dimana adalah peubah acak klaim dalam satu periode tertentu, menyatakan
peubah acak klaim total dalam satu periode tersebut, dan adalah peubah acak indikator dimana = 1 jika terjadi klaim dan = 0 jika tidak terjadi klaim.
dan dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan
= � | �,
= � | � + �
| �,
selanjutnya = [ | = 1],
� = | = 1,
dan didapat [ ] =
, =
1 − + � .
Bowers et al. 1997
2.8 Himpunan dan Fungsi Konveks
