Sebagai ilustrasi, dimisalkan dari sebuah model diperoleh kondisi momen dan parameter adalah
~̅ s = ‰′z berdimensi R x 1 dan s berdimensi K x 1 Dalam
kondisi demikian maka tidak terdapat s† yang memenuhi ~̅5s†8 = 0, sehingga
untuk mendapatkan solusi terhadap kasus ini dibutuhkan matriks pembobot Rossi, 2010; Verbeek, 2008. Misalkan matriks pembobot yang dimaksud adalah
A
N
, maka untuk mendapatkan penduga s adalah
Š s = ~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s . 2.15 Ide GMM adalah meminimumkan fungsi pada persamaan 2.13,
s†
Œ••
= arg min
•
Š s . Turunan pertama 2.13 terhadap s, ‘
‘s Š s = ‘
‘s ~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s + ‘
‘s ~̅
•
s ′‹
•
~̅
•
s = 2
’ ’•
~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s , “ × • . Untuk sebuah model yang linier, penduga bagi parameter
s Rossi, 2010 s†
Œ••
=
′
‹
• ′
0p
′ ‹
•
′ r. 2.16
Metode pemilihan umum dalam menentukan matriks pembobot ‹
•
= –
p •
∑ ~̅ 5s†8~̅ 5s†8′
• ‚p
—
0p
, dan s† diperoleh dari penduga GMM tahap pertama,
misalkan menggunakan A
N
identitas Verbeek, 2008; Rossi, 2010.
2.5.2.1 Metode DIFF-GMM
Metode difference GMM DIFF-GMM merupakan salah satu metode yang cukup terkenal dalam menduga parameter pada model data panel. Pemodelan
data panel mempunyai akurasi yang relatif lebih baik dibandingkan dengan data cross-sectional
ataupun data deret waktu Baltagi, 2005. Salah satu keuntungan dari data panel adalah dapat memahami secara lebih baik dari dinamika
penyesuaian melalui model dinamis. Hubungan dinamis dicirikan oleh keberadaan lag
peubah tak bebas. Sebagai ilustrasi, berikut diberikan model dinamis dengan melibatkan peubah bebas dan penduga parameter dengan DIFF-GMM Arellano
dan Bond 1991. Misalkan diberikan sebuah model berikut: r = 7r
, 0p
+ N
′
s + ˜ , = 2, … , . 2.17
dengan ˜ = š + › , N
′
adalah vektor peubah bebas berdimensi 1 x K dan s
adalah vektor parameter berdimensi K x 1. Pada 2.17 diasumsikan vcš d = 0,
vc› d = 0, vc› š d = 0 untuk = 1, … , dan = 2, … , , dan vc› ›
R
d = 0 untuk i=1,2,..,N, dan
≠ Bond et al., 2001. Dalam metode DIFF-GMM, tahapan pertama adalah melakukan operasi beda
pertama first difference terhadap persamaan 2.17, ∆r = 7∆r
, 0p
+ N
′
s + ∆› , = 3, … , . 2.18
Misalkan ∆› = ∆›
Ÿ
, … , ∆› , berdasarkan 2.18,
v ∆¡ = 0, ¢£¤ ∆¡ = v5∆› ∆›
′
8 = ¥
¦ q
[, dengan
[ = § 2 −1
−1 2 …
… 0 0
0 0 … …
… … …
0 0 0 0
… …
2 −1 −1 2
¨.
Penduga parameter α dan β pada model 2.17 bergantung pada sifat dari
N . Apabila
N bersifat strictly exogenous dalam arti bahwa peubah-peubah tersebut tidak berkorelasi dengan
› , vcN
R
∆› d = 0 sedemikian, maka N
p
, … , N dapat
ditambahkan langsung pada instrumen persamaan beda pertama. Apabila N
bersifat predermined dalam arti bahwa vcN ›
R
d = 0 untuk ≥ maka peubah- peubah instrumen yang digunakan adalah
eN
,p •
, … , N
,R0p •
f. Berdasarkan 2.18, dimisalkan
adalah matriks yang didefinisikan sebagai = §
r
q
r
Ÿ
r
, 0p
N
Ÿ ′
N
ª ′
N
, ′
¨, 2.19 dan anggaplah bahwa x
it
bersifat predermined. Berdasarkan 2.18 maka kondisi momen untuk menduga
α adalah v5r
, 0R
∆› 8 = 0 dan kondisi momen untuk menduga
β adalah veN
, 0
∆› f = 0, untuk j=1,2,...,t-1 Arrelano, 2003. Dengan demikian peubah instrumen yang digunakan untuk menduga parameter
α dan
β adalah =
« ¬
¬ ¬
-er
p
, N
p ′
, N
q ′
f er
p
, r
q
, N
p ′
, N
q ′
, N
Ÿ ′
f ⋱
0 er
p
, … , r
, 0q
, N
p ′
, … , N
, 0p ′
f¯ °
° °
± . 2.20
Berdasarkan 2.20 kondisi momen dapat dituliskan kembali sebagai v5
′
∆› 8 = 0, atau dapat dinyatakan sebagai v5
•
∆r − ² 8 = 0, ² = 7, s ′, i=1,2,...,N. Karena momen populasi tidak diketahui, maka kondisi momen tersebut
didasarkan pada momen contoh. Berdasarkan momen contoh ini maka penduga bagi
7 dan s adalah ²³
Œ••
= ′ ‹
•
′
0p ′
‹
• ′
r. 2.21 dengan
‹
•
adalah matriks yang didefinisikan sebagai ‹
•
= ∑
′
¡ ¡ ′
• ‚p
Arrelano, 2003; Baltagi, 2005; Eigner, 2009. 2.5.2.2 Metode SYS-GMM
Metode system GMM SYS-GMM merupakan perbaikan dari metode difference
GMM DIFF-GMM dalam menangani masalah instrumen lemah weak instrument problem. Dalam SYS-GMM melibatkan “level equation” dan
“difference equation”. Peubah-peubah yang bersifat endogen dalam level equation
diinstrumen oleh lag difference, dengan demikian selain momen pada DIFF-GMM, terdapat momen tambahan. Sebagai ilustrasi kembali pada kasus
dimana peubah x
it
bersifat predetermined. . Misalkan
didefinisikan sebagai
=
« ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ -
r
q
r
Ÿ
⋮ r
, 0p
r
q
⋮ r
, 0p
N
Ÿ ′
N
ª ′
⋮ N
, ′
N
Ÿ ′
⋮ N
′
¯ °
° °
° °
° ±
, 2.22
dan
µ
didefinisikan sebagai matriks instrumen pada level equation,
µ
= § e r
q
, N
q ′
, N
Ÿ ′
f ⋱
⋱ 0 e r
q
, … , r
, 0q
, N
q ′
, … , N
, 0p ′
f ¨,
maka kondisi momen untuk penduga SYS-GMM adalah Eigner, 2009 = ¶
· µ
¸, 2.23 dengan
·
adalah kondisi momen pada DIFF-GMM. Penduga parameter bagi ²³,
²³
Œ••
, dengan SYS-GMM sama halnya dengan penduga pada 2.21, namun dengan mengganti 2.19 dengan 2.22 dan kondisi momen pada 2.20 dengan
kondisi momen 2.23. Penduga SYS-GMM termasuk dalam penduga yang konsisten Rossi, 2010; Verbeek, 2008.
3 KENORMALAN ASIMTOTIK STATISTIK GETIS LOKAL TERMODIFIKASI
3.1 Pendahuluan
Getis dan Ord 1992 memperkenalkan statistik Getis lokal G
i
untuk mempelajari pola lokal dalam data spasial. Statistik ini mengukur derajat
hubungan yang dihasilkan dari pusat titik-titik terboboti dan semua titik lain yang berjarak d dari titik asal pivot. Dalam hal ini apabila ditetapkan nilai peubah di
titik asal X
i
, i=1,2,…, n, maka terdapat n-1 kemungkinan nilai-nilai x
j
selainnya yang bertetangga. Di bawah hipotesis null bahwa tidak terdapat hubungan spasial, permutasi acak di sini saling lepas dan serba sama dan oleh
karenanya sebaran permutasi [ mendekati normal Getis dan Ord, 1992. Salah
satu penerapan statistik Getis lokal dalam pemodelan adalah untuk membentuk matriks pembobot spasial yang disebut A Multidirectional Optimum Ecotope-
Based Algorithm AMOEBA oleh Aldstadt dan Getis 2006, dan berikutnya
algoritmanya dioptimalkan oleh Duque et al. 2011. Asumsi kenormalan asimtotik statistik Getis lokal telah banyak digunakan
dan untuk menentukan nilai-p p-value, Getis dan Ord 1992 menyarankan membandingkannya dengan nilai-p uji-z. Dalam merancang matriks pembobot
spasial, Aldstadt dan Getis 2006 menggunakan kenormalan asimtotik dari statistik G
i
dalam algoritma AMOEBA. Kenormalan asimtotik statistik G
i
yang telah diklaim oleh Getis dan Ord perlu dikonfirmasi kembali dikarenakan Zhang 2008 telah memperlihatkan
bahwa sebaran statistik G
i
bergantung pada sebaran peubah asal X
i
i=1,2,…,n. Kajian ini bertujuan untuk mengkonfirmasi sebaran statistik G
i
dan memberikan sebuah alternatif penyelesaian ketika G
i
tidak selalu menyebar normal.
3.2 Statistik Getis lokal
Autokorelasi spasial berkaitan dengan pola tak acak dari nilai-nilai atribut atas himpunan unit-unit spasial. Autokorelasi spasial dapat dianalisis dari dua
perspektif yang berbeda. Dalam mengukur autokorelasi spasial, terdapat dua jenis ukuran yaitu ukuran global dan ukuran lokal. Analisis autokorelasi global
meliputi kajian keseluruhan pola peta dan secara umum menjawab sebuah pertanyaan apakah terdapat pola yang menggerombol atau tidak. Ukuran
autokorelasi spasial lokal digunakan untuk mendeteksi adanya sinyal kantung yang signifikan dalam gerombol cluster Ord dan Getis, 1995. Autokorelasi
statistik lokal mampu mendeteksi hotspot local spatial cluster Nelson dan Boots, 2008. Menurut Anselin 1995 hotspot merupakan local spatial cluster
teridentifikasi sebagai lokasi atau himpunan lokasi yang bersebelahan dimana Local Indicator Spatial Association
signifikan. Salah satu statistik untuk mengukur autokorelasi lokal yang sering digunakan adalah statistik Getis lokal.
Statistik Getis lokal diperkenalkan oleh Getis dan Ord 1992 untuk mempelajari pola lokal dalam data spasial, mendeteksi kantung-kantung spasial
yang tidak dapat terdeteksi oleh statistik global. Statistik Getis lokal, [ , yang
berjarak tidak lebih dari d diekspresikan dengan [ . dan didefinisikan sebagai:
