Pendahuluan Statistik Getis lokal

sebaran statistik membentuk kurva normal baku. Untuk lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa sebaran statistik Getis lokal termodifikasi menyebar normal. Gambar 3.2 Kurva [ ¹ÛU ∗ kasus ~[£××£ 1,4 , N=200 pada variasi p i menggunakan 5000 permutasi acak Gambar 3.3 Kurva [ ¹ÛU ∗ kasus ~ß ª q , N=200 pada variasi p i menggunakan 5000 permutasi acak Gambar 3.4 Kurva [ ¹ÛU ∗ kasus ~Á 1,2 , N=200 pada variasi p i menggunakan 5000 permutasi acak 3.5.4 Sebaran Limit Statistik Getis Lokal Termodifikasi Perhatikan statistik Getis lokal termodifikasi [ ¹ÛU pada 3.10, [ ¹ÛU ∗ pada 3.11 dan ¢ = Á³ ¹ N , i=1,2…,n. Ambil ¥ q = ¢£¤5¢ 8 = à5P I 8–p0à5P I 8— ¹0p dan Æ = v5¢ 8 = Á5N 8, ≠ , = 1,2, … , A. Untuk penyederhanaan, dimisalkan ¥ q = ¥ q dan Æ = Æ . Perhatikan bahwa ¥ q ≈ ¥ q = à P 5p0à P 8 ¹0p , yakni untuk n besar, A → ∞, ¥ q dan ¥ q , akan menuju nol. Di bawah kondisi ini, [ ¹ÛU ∗ adalah menyebar asimtotik normal standar, [ ¹ÛU ∗ → 0,1 . Untuk membuktikan bahwa [ ¹ÛU ∗ menyebar normal standar, digunakan teorema Lyapounov Billingsley, 1995, Chung, 2001. Anggaplah bahwa untuk setiap n barisan peubah acak ¢ p , ¢ q , … , ¢ ¹ saling bebas, dengan nilai tengah dan ragam yang tidak homogen, v ¢ = Æ , ¢£¤ ¢ = ¥ q , dan dimisalkan â ¹ = ∑ ¢ ¹ ‚p , Ì ¹ q = ¢£¤ â ¹ = ∑ ¥ q ¹ ‚p . Untuk sembarang δ positif, jika lim ¹→Ð 1 Ì ¹ qÊË € ve|¢ − Æ | qÊË f ¹ ‚p = 0 3.12 maka 1 Ì ¹ € ¢ − Æ ¹ ‚p → 0,1 . 3.13 Ambil ¹ = A − 1 p ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f=, p = ¢Â p adalah invariant di bawah permutasi acak ¢ , ¢ = Á³ ¹ 5N 8, Æ = ve¢ f = Á5N 8, ã = − U H ¹0p , ä = lim ¹→Ð ∑ Uã HI Z I ¹0p dan p → Æ as A → ∞. Karena ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f= = p ¹0p å X e∑ ã ¢ f, ¹ dapat dituliskan kembali sebagai ¹ = ∑ ã ¢ − Æ + ∑ ã Æ . 3.14 Teorema. Anggaplah bahwa ¢ = Á³ ¹ 5N 8, Æ = v5¢ 8, p = ¢Â dan ¹ sebagaimana diberikan pada 3.14. Jika ∑ U HI 5ˆ I 0å X 8 I ¹0p å X → 0 , untuk sembarang sebaran , j=1,2,...,n maka ¹ → –0, äÁ N 51 − Á N 8— untuk A → ∞. Bukti. Ambil ¹ = ∑ ã ¢ − Æ + ∑ ã Æ 3.14, nilai tengah dan ragam ¹ berturut-turut adalah, v ¹ = ∑ ã Æ dan ¢£¤ ¹ = v ¹ q − cv ¹ d q = ∑ ã q ¥ q , dengan ã = − U H. ¹0p . Pertama akan dibuktikan bahwa v ¹ → 0 untuk A → ∞. Ambil = ∑ Ñ I I ¹0p , . A − 1 = ∑ ¢ ∑ ¢ − ∑ 5¢ − p 8 ∑ ¢ atau dapat ditulis kembali sebagai 1 ∑ ¢ € ã ¢ = ∑ 5¢ − p 8 A − 1 p . Karena ¢ → Æ dan p → Æ, p ∑ ˆ I I ∑ ã ¢ → p ∑ Ñ I I ∑ ã Æ , dapat ditunjukkan bahwa ∑ U HI 5ˆ I 0å X 8 I ¹0p å X → 0 sehingga, v ¹ = ∑ ã Æ → 0, untuk A → ∞. Berikutnya akan dibuktikan bahwa ¢£¤ ¹ → Á N 51 − Á N 8ä. Perhatikan bahwa ¥ q → 0, j=1,2,...,n i ≠ j untuk A → ∞, sehingga lim ¹→Ð ¢£¤ ¹ = lim ¹→Ð æ€ ã q A − 1 Á5N 8 –1 − Á5N 8— ç. = äÁ N 51 − Á N 8. Terakhir, akan ditunjukkan kenormalan asimtotik ¹ menggunakan teorema Lyapounov 3.12. Ambil è = ã ¢ , v5è 8 = ã Æ , ¹ = ∑ è dan Ì ¹ q = ¢£¤ ¹ , mengacu pada 3.12, diperoleh lim ¹→Ð 1 Ì ¹ qÊË € v ;Ïè − v5è 8Ï qÊË = ¹ . 3.15