Modifikasi Statistik Getis Lokal

Akibat 2. Berdasarkan 3.19 berakibat bahwa: [ ¹ÛU ∗ = ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f= Ü¢£¤5[ ¹ÛU 8 → 0,1 , untuk A → ∞. Bukti. Mengacu pada Akibat 1 bahwa A − 1 ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f= → –0, 5p0à P 8 à P ä—, maka untuk menunjukkan Akibat 2, cukup diperlihatkan ¢£¤ – A − 1 [ ¹ÛU — = ¢£¤ ï A − 1 ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f=ð → 51 − Á N 8 Á N ä. Perhatikan bahwa ä = lim ¹→Ð ∑ Uã HI Z I ¹ , ã = − U H. ¹0p , dan ¢£¤5[ ¹ÛU 8 = U H. ¹0p0U H. ¹0p Z ¹0q Ý Þ Z ¦Â Z . Penjabaran ä dan ¢£¤5[ ¹ÛU 8 lebih lanjut dapat ditulis kembali ä = lim ¹→Ð ∑ ã q A = lim ¹→Ð ∑ ï q − 2A − 1 + – . A − 1— q ð A = lim ¹→Ð U H. ¹0p0U H. ¹ ¹0p , ¢£¤5[ ¹ÛU 8 = . A − 1 − . A − 1 q A − 2 Ì ¦ q ¡̅ q = . A − 1 − . A A − 1 A − 1 Ì ¦ q ¡̅ q A A − 2 dan ¢£¤5 A − 1 [ ¹ÛU 8 = A − 1 q ¢£¤5[ ¹ÛU 8 = . A − 1 − . A Ì ¦ q ¡̅ q A A − 2 = . A − 1 − . A A − 1 AÌ ¦ q ¡̅ q A − 1 A − 2 . Karena Ì ¦ → ¥, A¥ q = Á N 51 − Á N 8, ¡̅ = p → Æ, U H. ¹0p0U H. ¹ ¹0p → ä, dan ¹ ¹0q → 1 untuk A → ∞, maka ¢£¤ – A − 1 [ ¹ÛU — → 51 − Á N 8 Á N ä, sehingga akan berimplikasi [ ¹ÛU ∗ = ;[ ¹ÛU − ve[ ¹ÛU f= Ü¢£¤5[ ¹ÛU 8 → 0,1 untuk A → ∞.

3.6 Simpulan

Sebaran empiris dari statistik Getis lokal terstandardisasi, selain dipengaruhi oleh sebaran peubah asal, dipengaruhi pula oleh proporsi unit-unit spasial yang bertetangga, p i . Pada kasus peubah asal yang menyebar Gamma 1, 4 diperoleh bentuk kurva [ ∗ tidak simetris. Ketika ñ → 0 kurva sebaran statistik Getis lokal cenderung menjulur ke kanan sedangkan ketika atau ñ → 1 menjulur ke kiri. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada kasus ini statistik [ ∗ tidak menyebar normal. Modifikasi statistik Getis lokal melalui transformasi peubah asal ke penduga sebaran empirisnya, transformasi ke Á³ ¹ 5N 8, memberikan kenormalan statistik Getis lokal yang kekar robust. Kurva statistik Getis lokal termodifikasi [ ∗ untuk tiga tipe sebaran peubah asal dicoba memperlihatkan bentuk kurva normal standar normal baku. Kenormalan statistik [ ∗ diperkuat melalui hasil pembuktian secara analitik yang menunjukkan bahwa statistik [ ∗ menyebar normal untuk sembarang sebaran peubah asal . 4 PERBANDINGAN PERFORMA W-GETIS DAN W-GETIS YANG DIMODIFIKASI PADA MODEL PANEL SPASIAL DINAMIS

4.1 Pendahuluan

Dalam pemodelan untuk menentukan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas, umumnya berpedoman pada asumsi tidak adanya hubungan yang saling mempengaruhi antar peubah tak bebas. Namun demikian, dalam beberapa kasus tertentu asumsi kebebasan tersebut terkadang tidak terpenuhi sehingga memerlukan metode lain. Dalam kasus data-data yang terkait dengan wilayah spasial misalnya, dimungkinkan bahwa nilai peubah tak bebas di wilayah tertentu, selain dipengaruhi oleh karakteristik lokal peubah-peubah bebas juga dipengaruhi pula oleh nilai peubah tak bebas di sekitarnya tetangganya. Besarnya pengaruh nilai-nilai peubah yang berada di sekitarnya direpresentasikan oleh sebuah matriks yang disebut matriks pembobot spasial. Oleh karena matriks pembobot spasial merupakan elemen penting dalam pemodelan data spasial, maka konstruksi matriks pembobot spasial yang representatif dapat meningkatkan akurasi model yang dibangun. Dengan kata lain, perbedaan konstruksi matriks pembobot spasial tentunya akan mempengaruhi kualitas model yang dibangun. Menurut Getis dan Aldstadt 2004 matriks pembobot spasial merupakan elemen yang sangat dibutuhkan dalam kebanyakan model ketika representasi struktur spasial dibutuhkan. Jenis matriks pembobot spasial yang umum digunakan dalam model regresi spasial antara lain matriks yang didasarkan pada ketetanggaan. Konsep ini hanya didasarkan pada jarak secara fisik tanpa melihat kedekatan dari atribut yang menjadi perhatian. Ukuran kedekatan antar spasial dengan mempertimbangkan atribut tertentu dapat dikuantifikasi menggunakan ukuran autokorelasi spasial. Ukuran autokorelasi spasial dapat diklasifikasikan menjadi autokorelasi global autokorelasi lokal. Autokorelasi global mengkarakterisasi autokorelasi spasial untuk keseluruhan area yang dikaji menggunakan sebuah nilai, sedangkan autokorelasi lokal biasanya digunakan untuk mendapatkan pola atau pun dalam menentukan hotspot sebuah wilayah Nelson dan Boots, 2008. Dalam kaitannya dengan konstruksi matriks pembobot spasial, statistik autokorelasi yang digunakan adalah statistik autokorelasi lokal. Aldstadt dan Getis 2006 mengkonstruksi matriks pembobot spasial menggunakan prosedur yang disebut A Multidrectional Optimum Ecotope-Based Algorithm AMOEBA. Mereka membandingkan W hasil prosedur AMOEBA WG dengan matriks kontiguitas W-Contiguity, WC pada model SAR yang hasilnya menunjukkan bahwa performa WG lebih baik daripada WC. Dalam prosedur AMOEBA yang telah dikaji oleh Aldstadt dan Getis 2006, penentuan nilai-nilai elemen matriks yang didasarkan sebaran normal dari statistik Getis lokal. Namun sebaran statistik Getis lokal sangat bergantung pada sebaran peubah asal dan juga proporsi unit-unit yang bertetangga. Berkaitan dengan prosedur AMOEBA, jumlah unit yang tergabung tidak dapat dikontrol sehingga asumsi kenormalan statistik Getis lokal sangat sulit untuk terpenuhi. Sebagai alternatif, untuk mengkonstruksi matriks pembobot spasial dalam prosedur AMOEBA, digunakan statistik Getis lokal yang dimodifikasi Gnewi. Kenormalan statistik Gnewi kekar robust terhadap asumsi sebaran peubah asal. Untuk melihat efisiensi matriks pembobot spasial yang dihasilkan maka dibandingkan performa W-AMOEBA dengan statistik Getis lokal WG dan W- AMOEBA dengan statistik Getis lokal termodifikasi WGnew dalam model. Model yang digunakan untuk membandingkan performa antara kedua matriks, diambil dari spesifikasi model Cizek et al. 2011 dan Jacobs et al. 2009. Sedangkan metode penduga parameter yang digunakan adalah System- Generalized Method of Moments SYS-GMM. Kelejian dan Prucha 2010 melakukan generalisasi penduga SYS-GMM untuk menduga parameter autoregresif spasial dalam galat. Terdapat beberapa keunggulan metode SYS- GMM dibandingkan dengan metode penduga lain. Bias penduga GMM relatif lebih kecil daripada penduga Quasi Maximum Likelihood QML Lee dan Yu, 2010. Metode GMM dapat menangani model ketakbebasan spasial yang memuat satu atau lebih lag spasial peubah tak bebas dibandingkan dengan penduga ML dan penduga Bayes Kukenova dan Monteiro, 2008. Penduga GMM dapat menangani model ketakbebasan spasial linear yang memuat satu atau lebih peubah-peubah penjelas endogen Elhorst, 2010. Bond et al. 2001 mengusulkan untuk menggunakan penduga GMM dalam menduga model data panel dinamik. Tujuan dalam BAB 4 ini adalah untuk membandingkan performa matriks pembobot hasil prosedur AMOEBA yang didasarkan statistik Getis lokal dan statistik Getis lokal yang termodifikasi. 4.2 Matriks Pembobot Prosedur AMOEBA A Multidirectional Optimum Ecotope-Based Algorithm AMOEBA adalah sebuah prosedur yang dirancang untuk menggerombolkan clustering unit-unit spasial dan mengkonstruksi matriks pembobot spasial yang menggunakan data empiris. Prosedur AMOEBA didasarkan pada prinsip yang pertama kali dikembangkan oleh Getis dan Aldstadt 2004 dimana struktur spasial dianggap sebagai dua bagian kerangka yang memisahkan data yang berasosiasi secara spasial dan data yang bukan berasosiasi secara spasial. Dasar-dasar dalam prosedur AMOEBA adalah tipe statistik lokal yang digunakan untuk menguji hubungan antara unit spasial yang berdekatan. Untuk menggabungkan unit-unit dalam membentuk cluster tinggi atau rendah digunakan statistik Getis lokal, [ ∗ , yang didefinisikan pada 3.4. Dalam prosedur ini Aldstadt dan Getis 2006 menggunakan sebaran normal untuk mengkonstruksi setiap elementunsur dari matriks pembobot. Langkah-langkah prosedur AMOEBA disajikan pada 2.4.2. Untuk mengkonstruksi matriks pembobot AMOEBA yang didasarkan pada statistik Getis lokal termodifikasi prinsip sama dengan prosedur 2.4.2, tetapi menggunakan statistik [ ¹ÛU ∗ statistik Getis lokal termodifikasi pada 3.11 dalam pembentukan gerombol cluster unit spasialnya.

4.3 Pemodelan Data Panel Spasial

Data panel merupakan gabungan amatan cross-section seperti rumah tangga, negara, perusahaan dan sebagainya atas beberapa periode waktu Baltagi, 2005. Data panel memuat amatan berulang atas unit yang sama misalnya individu- individu, rumah tangga, perusahaan yang dikumpulkan atas jumlah periode tertentu Verbeek, 2008. Bidang ekonometrika umumnya berkaitan dengan penggabungan interaksi spasial dan struktur spasial ke dalam analisis regresi. Ketika terdapat ketakbebasan spasial spatial dependence namun tidak dimuat dalam model maka akan berdampak pada hasil dugaan yang berpotensi bias dan kehilangan efisiensi Anselin dan Lozano-Gracia, 2008. Terdapat dua pendekatan berbeda yang dapat ditujukan untuk model regresi spasial; pendekatan pertama adalah Spatial Lag Model SLM yang memasukan ketakbebasan spasial dalam bentuk peubah lag spasial Anselin dan Lozano- Gracia, 2008. SLM hampir sama dengan model autoregresif dalam kasus deret waktu sehingga sering dianggap sebagai model autoregresif spasial walaupun berbeda secara fundamental Fotheringham dan Rogerson, 2009. SLM sesuai untuk kasus ketika nilai peubah tak bebas dari unit tertentu secara langsung dipengaruhi oleh nilai-nilai y dari unit tetangganya Ward dan Gleditsch, 2008. Pendekatan kedua adalah Spatial Error Model SEM yang memasukan proses autoregresif spasial pada galat sisaan. Dalam SEM diasumsikan bahwa galat dari model berkorelasi secara spasial Ward dan Gleditsch, 2008. Pemodelan data panel spasial mempunyai pola model yang hampir sama dengan model panel data non spasial, perbedaan utamanya adalah pada model panel spasial melibatkan pengaruh lag spasial, misalnya dalam kasus ini WY. Berdasarkan keterlibatan pengaruh lag waktu pada data panel, terdapat dua pendekatan yaitu model panel spasial statis dan model panel spasial dinamis. Dalam model panel spasial dinamis di ruas kanan model mengakomodasi pengaruh peubah tak bebas dari tahun sebelumnya, lag satu, dua dan seterusnya. Sedangkan dalam model panel spasial statis di ruas kanan model tidak melibatkan atau tidak mengakomodasi pengaruh peubah tak bebas pada tahun sebelumnya lag waktu. Beberapa aplikasi dari model panel spasial dinamis cukup banyak, beberapa diantaranya adalah Cizek et al. 2011, Kholodilin et al. 2008, Kukenova dan Monteiro 2008, Lee dan Yu 2010 dan Jacobs et al. 2009 menggunakan model panel spasial dinamis. Sedangkan Druska dan Horrace 2004 dalam kajian usaha tani padi Indonesia menggunakan model panel spasial statis dengan spesifikasi SEM panel statis. Berikut adalah sebuah pengantar untuk model panel spasial statis yang berikutnya difokuskan pada model panel spasial dinamis dengan mengadopsi model dari Cizek yang mengkombinasikan SLM dan SEM.

4.3.1 Spatial Lag Model SLM

Spesifikasi Spatial Lag Model SLM lebih sesuai untuk menspesifikasi secara eksplisit dampak amatan peubah tetangga disekitarnya terhadap peubah tak bebas tertentu. Dalam SLM menghipotesiskan bahwa peubah tak bebas bergantung pada peubah tak bebas lainnya yang bertetangga dan himpunan karakteristik lokal teramati observed local characteristics. Model SLM dicirikan dengan adanya kombinasi linear matriks pembobot dan peubah tak bebas di ruas kanan. Pada SLM statis dimana pada model tersebut tidak melibatkan pengaruh lag waktu sebelumnya dapat dinyatakan sebagai | • = Çò| • + ‰ • ó } + ô • , ô • = õ • + z • 4.1 dengan y N t adalah vektor N x 1 dari amatan peubah tak bebas waktu t, X N t matriks N x K dari peubah bebas waktu t K adalah banyaknya peubah bebas, Ç adalah parameter koefisien autoregresive spasial, } vektor parameter peubah- peubah beas, ô ö vektor galat acak, õ • = š p , . . š , … , š • , dengan š adalah pengaruh spasial i, z ö vektor N x 1 dari komponen acak waktu t berukuran N, dan Õ = a g, , = 1,2, … , , = 0 semua elemen diagonal bernilai nol adalah matriks pembobot spasial. SLM dianggap sebagai spesifikasi formal dari proses interaksi spasial dimana nilai-nilai peubah tak bebas tertentu ditentukan bersama-sama dengan agen-agen tetangganya Anselin, 1999. Pada model 4.1 diasumsikan bahwa matriks S − Çò adalah matriks non singular invertible. Model 4.1 berada dalam kondisi stasioner apabila p ÷ øHÄ Ç p ÷ øùJú dengan û Y ¹ dan û Y_ R adalah nilai-nilai minimum dan maksimum dari akar ciri characteristic root matriks pembobot spasial W. Apabila matriks W bersifat row-normalized maka û Y_ R =1, tetapi û Y ¹ −1 sehingga batas bawah dari ruang parameter Ç kurang dari -1Anselin, 1999.

4.3.2 Spatial Error Model SEM

Spatial Error Model SEM menghipotesiskan bahwa peubah tak bebas bergantung pada himpunan karakteristik lokal teramati observed local characteristics dan bentuk galat berkorelasi antar spasial. SEM untuk kasus model statis dapat dinyatakan sebagai | • = ‰ • ó } + õ • + ô • , ô • = üòô • + z • , 4.2 dengan | • , ‰ • ó , õ • , ô • , ò, z • dan } penjelasannya sama dengan sebelumnya, sedangkan ü adalah koefisien autokorelasi spasial. Model 4.2 berada dalam kondisi kestasioneran apabila p ÷ øHÄ ü p ÷ øùJú , dengan û Y ¹ dan û Y_ R berturut-turut adalah nilai-nilai minimum dan maksimum akar ciri dari matriks pembobot spasial W Anselin, 1999. 4.4 Model SLM-SEM Dinamis Model Panel Spasial Dinamis merupakan perluasan dari model spasial statis dimana pada model spasial dinamis, selain melibatkan pengaruh lag spasial dan pengaruh karakteristik lokal, juga melibatkan pengaruh lag waktu pada peubah tak bebas y N t-1 di ruas sisi kanan model. Dengan menggunakan kelebihan dari SLM dan SEM, untuk menangkap adanya pengaruh spasial dari peubah tak bebas dan pengaruh spasial dalam galat error, SLM dan SEM dapat dikombinasikan yang mengacu pada model Cizek et al. 2011 dan Jacobs et al. 2009. Menurut Cizek et al. 2011 SEM merupakan sebuah alternatif untuk menangkap aspek spasial yang mungkin berasal dari masalah salah pengukuran measurement error dalam peubah. Menurut Thomas 1997, kesalahan pengukuran terjadi sebagai akibat adanya kesalahan sewaktu mengukur peubah, baik dalam mengukur peubah tak bebas maupun peubah bebas. Kombinasi SLM dan SEM pada model data panel dinamis dinyatakan sebagai | • = ý| • − 1 + Çò • | • + ‰ • } + ô • , = 2, … , 4.3 ô • = üþ • ô • + z • , z • = õ • + • , 4.4 dimana • ~ . dengan ragam ¥ q • , | • adalah vektor amatan peubah tak bebas berdimensi N 1, | • − 1 peubah tak bebas lag pertama, ò • matriks pembobot spasial berdimensi N , ‰ • matriks amatan peubah-peubah penjelas strictly exogenous berdimensi N “ K banyaknya peubah penjelas, ô • adalah vektor galat, } adalah vektor K x 1 koefisien kemiringan. Lag spasial ò • | • menangkap korelasi waktu yang sama antara unit i dan unit j, j ≠i. þ • matriks korelasi spasial pembobot berdimensi N x N ketika muncul korelasi galat spasial, þ • ô • galat spasial dan z • vektor inovasi. Untuk penyederhanaan bentuk model pada 4.3, ambil matriks • = | • − 1 , ò • | • , ‰ • berukuran N x K+2 dan = ý, Ç, } ′ ′ adalah vektor parameter K+2 x 1, sehingga 4.3 menjadi | • = • + ô • . 4.5 Normalisasi baris row normalized matriks pembobot merupakan upaya untuk memenuhi sifat bahwa agar model stabil atau stasioner Lee dan Yu, 2010. Row normalized, yaitu ∑ ¹ = 1 dan ∑ × ¹ = 1, adalah untuk memenuhi sifat bahwa S − Çò • dan S − üþ • bersifat bounded uniformly in absolute Kelejian dan Prucha, 1998; Kelejian dan Prucha, 1999. Misalkan matriks ¹ = . ,¹ adalah sembarang matriks n x n, A . Baris dan kolom matriks ¹ dikatakan bounded uniformly in absolute jika terdapat konstanta sedemikian sehingga berlaku max pØ Ø¹ €Ï. ,¹ Ï ¹ ‚p ≤ dan max pØ Ø¹ €Ï. ,¹ Ï ¹ ‚p ≤ , untuk semua A . 4.6 Kestabilan model 4.3 dapat terpenuhi apabila untuk matriks pembobot W yang row normalized memenuhi |ý| + Ç 1 untuk Ç≥0 atau |ý| + Çû Y ¹ 1 untuk Ç 0, dengan û Y ¹ adalah akar ciri minimum dari matriks W yang row normalized tersebut.

4.5 Pendugaan Parameter Model Panel Spasial Dinamis dengan SYS-GMM

Dalam model persamaan dinamis memuat lag waktu, sehingga berdampak masalah endogeneitas. Adanya peubah endogen tentunya mengakibatkan metode- metode klasik seperti metode kuadrat terkecil MKT tidak relevan karena peubah endogen berkorelasi dengan galat yang tentunya tidak sesuai dengan asumsi MKT. Di sisi lain, munculnya masalah endogeneitas mungkin dapat terjadi pula dalam hal kesalahan pengukuran measurement error sehingga penggunaan MKT akan berdampak serius. Jika kesalahan pengukuran terjadi pada peubah bebas, maka dapat mengarah pada bias dan ketidakkonsistenan penduga MKT. Jika kesalahan pengukuran terjadi pada peubah tak bebas dapat mengarah pada kehilangan ketepatan pendugaan Thomas, 1997. Menurut Cizek et al. 2011 SEM merupakan salah satu cara yang dapat digunakan dalam masalah kesalahan pengukuran, sedangkan metode alternatif GMM dapat mengatasi masalah endogeneitas. Metode GMM merupakan perluasan dari metode Instrument Variable dimana dalam pendugaan parameter didasarkan pada kondisi momen yang menggunakan peubah instrumen. Peubah instrumen merupakan peubah yang berkorelasi dengan peubah bebas tetapi tidak berkorelasi dengan galat Thomas, 1997. Metode penduga GMM didasarkan pada kondisi momen yang pada aplikasinya diduga berdasarkan momen contoh sample moments. Metode GMM yang sering digunakan dalam pendugaan parameter dari model-model yang melibatkan adanya pengaruh endogeneitas dalam bidang ekonomi adalah metode pendugaan GMM Arellano-Bond atau yang lebih dikenal dengan DIFF-GMM. Namun penduga DIFF-GMM tidak efisien karena instrumen hanya menggunakan informasi peubah first diference, sehingga untuk mengatasi digunakan sistem GMM SYS-GMM Cizek et al., 2011. Untuk menduga pada 4.5, dalam metode SYS-GMM terdapat tiga tahapan, pertama menduga , kedua menduga ü dan ¥ q , dan ketiga menduga setelah peubah | • dan • dikoreksi oleh ü. Prosedur metode SYS-GMM selengkapnya adalah sebagai berikut: 1 Tahap pertama Tahap awal dalam menduga adalah dengan melakukan operasi beda pertama first difference untuk mengeliminir pengaruh spasial õ • . Berdasarkan model SEM, ô • = S − üþ • 0p 5õ • + • 8, operasi beda pertama ∆ô • = S − üþ • 0p ∆ • dapat mengeliminir õ • .Operasi beda pertama 4.6 menghasilkan ∆| • = ∆ • + ∆ô • . 4.7 Metode penduga parameter GMM model 4.7 didasarkan pada himpunan kondisi momen dari parameter-parameter yang bersesuaian. Kondisi momen untuk mengidentifikasi λ, Arellano dan Bond 1991 menggunakan level peubah tak bebas | ö ó − , s=2,…,t-1 v5| • • − ∆ô • 8 = 0, = 3, … , ; = 2, … , − 1 4.8 . Kondisi momen yang digunakan untuk mengidentifikasi parameter δ terdiri dari dua pendekatan. Pendekatan pertama adalah pendekatan instrumen lag spasial dengan beragam waktu dari lag spasial dari peubah tak bebas. Kondisi momen untuk menduga δ dalam pendekatan pertama adalah v –eÕ • G r • − f • ∆˜ • — = 0, = 3, … , , = 2, … , − 1, D = 1, … , • 4.9 , dengan l menunjukkan variasi pangkat W N dan L adalah lag spasial maksimum yang digunakan untuk menginstrumen peubah tak bebas. Pendekatan kedua adalah instrumen-instrumen yang melibatkan pengaruh spasial lag waktu dari peubah bebas ò • ∆‰ • . Dalam pendekatan ini, karena peubah ∆‰ • tidak berkorelasi dengan ∆ô • maka ò • ∆‰ • juga tidak bekorelasi dengan ∆ô • . Oleh karena itu instrumen yang digunakan untuk mengidentifikasi δ adalah ò • ∆‰ • . Dengan demikian kondisi momen lain untuk menduga δ adalah Cizek et al., 2011,