Sebaran Empiris Statistik Getis lokal
Dengan mengambil Ç = 2, dan memisalkan = ¢ − Æ , maka pembilang pada
3.15 dapat dinyatakan sebagai € veè − v5è 8f
ª
= € vÏã Ï
ª
. 3.16 Karena
0 Æ ≤ 1 dan v5¢ 8 → Æ , diperoleh Ï Ï = Ï¢ − Æ Ï ≤ Ï¢ Ï, sehingga sisi ruas kanan 3.16 menjadi
€ vÏã Ï
ª
≤ €Ïã Ï
ª
vÏ¢ Ï
ª
. 3.17 Karena
¢ ∈ 0,1d, vÏ¢ Ï
ª
= v5¢ 8
ª
=
p ¹
é
v ;
p ¹
∑ S
P
J
ØP
I
‚p
= =
à5P
I
8 ¹
é
, dengan
substitusi vÏ¢ Ï
ª
=
à5P
I
8 ¹
é
ke persamaan 3.17 menghasilkan € vÏã
Ï
ª ‚p
≤ €Ïã Ï
ª
vÏ¢ Ï
ª
= 1
A
q
“,
dengan K = ∑
ÏUã
HI
Ï
ë
¹ ‚p
Á5N 8 ∞, sehingga 3.15 dapat dinyatakan sebagai lim
¹→Ð
1
¹ª
€ v ;Ïè − v5è 8Ï
ª
=
¹ ‚p
= lim
¹→Ð
∑ v ;Ïè − v5è 8Ï
ª
=
¹ ‚p
lim
¹→Ð ¹ ª
= 1
eÁ N 51 − Á N 8äf
q
lim
¹→Ð
1 A
q
“ = 0. Karena kondisi Lyapounov, 3.12 dan 3.13 dapat terpenuhi, maka
¹
→ 50, Á N 51 − Á N 8ä8, 3.18 untuk
A → ∞.
Akibat 1. Berdasarkan 3.18, diperoleh akibat berikut
A − 1 ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= → ì0, 51 − Á N 8
Á N
äí,
untuk A → ∞.
Bukti. Perhatikan bahwa
¹
= A − 1
p
;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= dan ¢£¤
¹
→ Á N 51 − Á N 8ä untuk A → ∞, yang berimplikasi A − 1 ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= =
¹ p
. Karena
p
→ Æ untuk A → ∞, diperoleh A − 1 ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= → ì0, 51 − Á N 8
Á N äí untuk A → ∞. 3.19
Akibat 2. Berdasarkan 3.19 berakibat bahwa:
[
¹ÛU ∗
= ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= Ü¢£¤5[
¹ÛU
8 → 0,1 ,
untuk A → ∞.
Bukti. Mengacu pada Akibat 1 bahwa A − 1 ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= → –0,
5p0à P 8 à P
ä—, maka untuk menunjukkan Akibat 2, cukup diperlihatkan
¢£¤ – A − 1 [
¹ÛU
— = ¢£¤ ï A − 1 ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f=ð → 51 − Á N 8
Á N ä.
Perhatikan bahwa ä = lim
¹→Ð ∑ Uã
HI Z
I
¹
, ã =
−
U
H.
¹0p
, dan ¢£¤5[
¹ÛU
8 =
U
H.
¹0p0U
H.
¹0p
Z
¹0q Ý
Þ Z
¦Â
Z
. Penjabaran ä dan ¢£¤5[
¹ÛU
8 lebih lanjut dapat ditulis kembali
ä = lim
¹→Ð
∑ ã
q
A = lim
¹→Ð
∑ ï
q
− 2A − 1 + –
.
A − 1—
q
ð A
= lim
¹→Ð U
H.
¹0p0U
H.
¹ ¹0p
, ¢£¤5[
¹ÛU
8 =
.
A − 1 −
.
A − 1
q
A − 2 Ì
¦ q
¡̅
q
=
.
A − 1 −
.
A A − 1 A − 1 Ì
¦ q
¡̅
q
A A − 2
dan ¢£¤5 A − 1 [
¹ÛU
8 = A − 1
q
¢£¤5[
¹ÛU
8 =
.
A − 1 −
.
A Ì
¦ q
¡̅
q
A A − 2
=
.
A − 1 −
.
A A − 1 AÌ
¦ q
¡̅
q
A − 1 A − 2 .
Karena Ì
¦
→ ¥, A¥
q
= Á N 51 − Á N 8, ¡̅ =
p
→ Æ,
U
H.
¹0p0U
H.
¹ ¹0p
→ ä, dan
¹ ¹0q
→ 1 untuk A → ∞, maka ¢£¤ – A − 1 [
¹ÛU
— → 51 − Á N 8
Á N ä,
sehingga akan berimplikasi [
¹ÛU ∗
= ;[
¹ÛU
− ve[
¹ÛU
f= Ü¢£¤5[
¹ÛU
8 → 0,1 untuk A → ∞.