Kondisi momen pada 2.11 adalah v w
xy
z
y
= 0 dan v w
{y
z
y
= 0. Dalam bentuk yang lebih umum, misalkan model 2.11 dinyatakan dalam bentuk vector
dan matriks
| = } + z, dengan X adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari
N
p
dan N
q
dan ~ s =
•
z maka kondisi momen dapat dinyatakan dengan
v5~ s 8 = 0. Karena kondisi momen populasi tidak diketahui maka digunakan momen contoh sample moment,
~̅ s = 1
€ ~ s =
• ‚p
1 € N r − N
•
s
• ‚p
= 1
•
r − ′ s . 2.12
Penduga parameter bagi s pada persamaan 2.12 diperoleh berdasarkan
minimisasi dari fungsi ~̅ s . Pada kasus 2.12, jika ~̅ s = 0 maka hasil
minimisasi tersebut tidak lain merupakan persamaan normal yang sudah umum digunakan dalam MKT, dimana penduga parameter
} adalah }„ = ′
0p •
r, dan penduga
}„ bersifat tak bias Rossi, 2010; Verbeek, 2008. Jika dalam kasus model 2.11 terdapat peubah endogen, katakanlah peubah bebas
N
q
sehingga kondisi momen pada model 2.11 menjadi
v w
xy
z
y
= 0 dan v w
{y
z
y
≠ 0, maka hasil dugaan MKT bersifat bias Verbeek, 2008. Untuk memecahkan masalah
keberadaan peubah endogen ini dibuat peubah instrumen katakanlah peubah O
q
,
yaitu peubah yang berkorelasi dengan peubah bebas terkait dalam kasus ini w
{y
dan tidak berkorelasi dengan galat atau sisaan. Kembali pada ilustrasi model 2.11, karena
N
q
bersifat endogen, maka kondisi momen didasarkan pada v w
xy
z
y
= 0 dan v …
{y
z
y
= 0, sehingga penduga bagi parameter s, yang disebut penduga Instrumental Variables IV adalah
s†
‡ˆ
= ∑ …
y
w
y •
• ‚p
0p
∑ …
y
|
y •
‚p
2.13 dengan
w
y •
= N
p
, N
q
dan …
y
= N
p
, O
q
. Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks penduga IV dinyatakan sebagai
s†
‡ˆ
= ′
0p
′r 2.14 pada kasus
O
q
= N
q
metode IV sama dengan MKT Verbeek, 2008.
2.5.2 Metode DIFF GMM dan SYS-GMM
Ilustrasi yang telah disajikan di atas dibatasi pada banyaknya kondisi momen baris dan banyaknya parameter kolom yang diduga berjumlah sama.
Pada kasus berikutnya diperluas untuk kasus dimana kondisi momen danbanyaknya parameter tidak selalu sama. Apabila dimisalkan R adalah
banyaknya kondisi momen dan K adalah banyaknya parameter yang diduga maka terdapat tiga kemungkinan. Kasus pertama, jika R = K maka parameter-parameter
dapat diduga menggunakan metode IV sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya. Pada kasus kedua, dimana R K maka parameter tidak dapat teridentifikasi. Pada
kasus ketiga, jika overidentified dimana R K maka untuk menduga parameter diperlukan matriks pembobot untuk meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Sebagai ilustrasi, dimisalkan dari sebuah model diperoleh kondisi momen dan parameter adalah
~̅ s = ‰′z berdimensi R x 1 dan s berdimensi K x 1 Dalam
kondisi demikian maka tidak terdapat s† yang memenuhi ~̅5s†8 = 0, sehingga
untuk mendapatkan solusi terhadap kasus ini dibutuhkan matriks pembobot Rossi, 2010; Verbeek, 2008. Misalkan matriks pembobot yang dimaksud adalah
A
N
, maka untuk mendapatkan penduga s adalah
Š s = ~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s . 2.15 Ide GMM adalah meminimumkan fungsi pada persamaan 2.13,
s†
Œ••
= arg min
•
Š s . Turunan pertama 2.13 terhadap s, ‘
‘s Š s = ‘
‘s ~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s + ‘
‘s ~̅
•
s ′‹
•
~̅
•
s = 2
’ ’•
~̅
•
s
•
‹
•
~̅
•
s , “ × • . Untuk sebuah model yang linier, penduga bagi parameter
s Rossi, 2010 s†
Œ••
=
′
‹
• ′
0p
′ ‹
•
′ r. 2.16
Metode pemilihan umum dalam menentukan matriks pembobot ‹
•
= –
p •
∑ ~̅ 5s†8~̅ 5s†8′
• ‚p
—
0p
, dan s† diperoleh dari penduga GMM tahap pertama,
misalkan menggunakan A
N
identitas Verbeek, 2008; Rossi, 2010.
2.5.2.1 Metode DIFF-GMM
Metode difference GMM DIFF-GMM merupakan salah satu metode yang cukup terkenal dalam menduga parameter pada model data panel. Pemodelan
data panel mempunyai akurasi yang relatif lebih baik dibandingkan dengan data cross-sectional
ataupun data deret waktu Baltagi, 2005. Salah satu keuntungan dari data panel adalah dapat memahami secara lebih baik dari dinamika
penyesuaian melalui model dinamis. Hubungan dinamis dicirikan oleh keberadaan lag
peubah tak bebas. Sebagai ilustrasi, berikut diberikan model dinamis dengan melibatkan peubah bebas dan penduga parameter dengan DIFF-GMM Arellano
dan Bond 1991. Misalkan diberikan sebuah model berikut: r = 7r
, 0p
+ N
′
s + ˜ , = 2, … , . 2.17
dengan ˜ = š + › , N
′
adalah vektor peubah bebas berdimensi 1 x K dan s
adalah vektor parameter berdimensi K x 1. Pada 2.17 diasumsikan vcš d = 0,
vc› d = 0, vc› š d = 0 untuk = 1, … , dan = 2, … , , dan vc› ›
R
d = 0 untuk i=1,2,..,N, dan
≠ Bond et al., 2001. Dalam metode DIFF-GMM, tahapan pertama adalah melakukan operasi beda
pertama first difference terhadap persamaan 2.17, ∆r = 7∆r
, 0p
+ N
′
s + ∆› , = 3, … , . 2.18
Misalkan ∆› = ∆›
Ÿ
, … , ∆› , berdasarkan 2.18,
v ∆¡ = 0, ¢£¤ ∆¡ = v5∆› ∆›
′
8 = ¥
¦ q
[, dengan
