Antrean Poisson Khusus MM1:GD∞∞

44 Terlihat bahwa     1 1 n n n  merupakan turunan sederhana dari   0 n n n  terhadap ρ. Selanjutnya dengan menggunakan definisi deret geometri ρ 1, maka diperoleh: ∑ � ∞ = = − � akibatnya, ∑ � − ∞ = = [ − � ] � = − � . Persamaan 2.56 kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 2.55, sehingga persamaannya menjadi: = − � � ∑ � − ∞ = = − � � − � = � − � . Ukuran keefektifan rata-rata waktu customer menunggu dalam sistem dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan 2.57 ke persamaan 2.45 seperti berikut ini: = = � − � = � − � = − � . 45 Rata-rata waktu customer menunggu dalam antrean dapat dicari dengan cara mensubstitusikan persamaan 2.58 ke dalam persamaan 2.47, maka diperoleh = � + − � = � + � = − � − = − − � − � = − + � − � � = � − � . Selanjutnya, menentukan rata-rata banyaknya customer dalam antrean yaitu dengan cara mensubstitusikan persamaan 2.59 ke persamaan 2.46, sehingga diperoleh � = � � − � = � = � − � = � − � . Dengan demikian, banyak pelayanan yang sibuk atau kepadatan customer ̅ dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan 257 dan 2.60 ke dalam persamaan 2.49, sehingga diperoleh 46 ̅ = � − � − � − � = � − � − � = � .

6. Antrean Poisson Khusus MMc:GD∞∞

Pada model MMc: GD∞∞ kedatangan customer berdistribusi Poisson dengan rata- rata . Selain itu, terdapat c server dimana setiap server independen dan diidentifikasi waktu antar pelayanan 1µ berdistribusi Eksponensial Gross Harris, 2008: 66-67. Berikut ini merupakan diagram yang menggambarkan tentang model MMc: GD∞∞: Gambar 2.8 Diagram tingkat perpindahan model MMc: GD∞∞ Seperti antrean MM1: GD∞∞, antrean MMc:GD∞∞ dapat dimodelkan sebagai proses kelahiran-kematian Gambar 2.8. Dalam model ini, rata- rata laju kedatangan dan rata-rata laju pelayanan µ customer konstan. Selain itu juga terdapat maksimum c server, sehingga customer dapat dilayani secara bersamaan. Selanjutnya dari pembahasan pada bagian sebelumnya, yaitu solusi steady state dari kinerja sistem antrean dapat disimpulkan bahwa = . 1 2 c c+1 2 3 c c c 47 Pengaruh penggunaan c server yang paralel adalah mempercepat laju pelayanan dengan memungkinkan dilakukannya beberapa pelayanan secara bersamaan. Jika banyaknya customer dalam sistem sebanyak n, sama dengan atau lebih besar dari c, maka laju pelayanannya dapat dirumuskan sebagai berikut: = , { , , Perhitungan � untuk dapat dijabarkan sebagai, � = � � = � � = . . . � � = � . dan � untuk yaitu, � = . . . − . . . � � = − � . Jadi, dari persamaan 2.62 dan persamaan 2.63 diperoleh � { � � � − � . 48 dengan menganggap bahwa � = . Nilai � didapatkan dengan cara mensubstitusikan persamaan 2.64 ke dalam persamaan     1 n n P seperti berikut: � {∑ � + ∑ � − ∞ = − = } = � = {∑ � + � ∑ � − − ∞ = − = } − Jika dimisalkan j = n – c, maka diperoleh � = {∑ � + � ∑ � ∞ = − = } − karena j j c           merupakan deret geometri tak hingga, maka � = {∑ � + � − � − = } − , � . Selanjutnya, menentukan ukuran keefektifan yang terdiri dari � , , � , dan . Nilai � dapat dicari dengan meggunakan persamaan 2.44 berikut � = ∑ − � ∞ = Jika dimisalkan k = n – c dan mensubstitusikan persamaan 2.64 ke persamaan 2.44, maka diperoleh 49 � = ∑ � + ∞ = = ∑ � + ∞ = � � = � � � ∑ � − ∞ = dimana ∑ � − ∞ = = � ∑ � = � [ − �] = − � ∞ = Akibatnya, � = � � � − � = [ � + − � ] � = [ � + − − � ] � � = [ � + − − � ] � . Selanjutnya, menentukan nilai dengan cara mensubstitusikan persamaan 2.66 ke dalam persamaan 2.48, sehingga didapatkan = � + = � + �