Model Kelahiran Murni Model-Model Antrean

36 Persamaan diferensial untuk proses kematian murni yaitu: � = � + − � , untuk = , , , . . , � − . � � = − � � , untuk ≈ � . Mengingat bahwa N-n adalah jumlah kejadian kematian yang telah terjadi dalam proses. Oleh karena itu, probabilitas bahwa tidak ada kejadian terjadi pada saat t adalah: � � = − . Selanjutnya mencari probabilitas bahwa N-n kejadian telah terjadi, dimana � − �. Misalkan n = N-1, maka dengan menggunakan persamaan 2.30 diperoleh: � �− = � � − � �− � �− + � �− = � � � �− + � �− = − Kedua ruas tersebut kemudian dikalikan dengan , maka didapatkan � �− + � �− = � �− = Selanjutnya kedua ruas diintegralkan, sehingga didapatkan � �− = ∫ � �− = + , karena � �− adalah fungsi probabilitas maka c= 0. 37 Jadi diperoleh nilai � �− yaitu � �− = − . Jika n = N-2, maka dengan menggunakan persamaan 2.30 diperoleh � �− = � �− − � �− � �− + � �− = � �− � �− + � �− = − Kedua ruas tersebut kemudian dikalikan dengan , maka didapatkan � �− + � �− = � �− = Selanjutnya kedua ruas diintegralkan, sehingga diperoleh � �− = ∫ � �− = + � �− = − + − , karena � �− adalah fungsi probabilitas maka c = 0. Jadi diperoleh nilai � �− yaitu � �− = − . 38 Berdasarkan persamaan 2.33 dan 2.34, maka diperoleh rumus umum probabilitas untuk kematian murni yaitu: � = �− − � − .

4. Solusi Steady State dari Kinerja Sistem Antrean

Menurut Dimyati Dimyati 2002: 361-362, jika sistem antrean mencapai kondisi steady state maka probabilitas {� } menjadi konstan dan independen terhadap waktu. Solusi steady state untuk � bisa didapatkan dengan 2 pendekatan, antara lain: 1 Dengan menyelesaikan � dalam kasus transien dengan → ∞ 2 Dengan menetapkan � = Solusi transien tidak dapat digunakan untuk proses kelahiran dan kematian, maka digunakan pendekatan yang kedua. Dengan mengasumsikan bahwa: lim →∞ � = � sehingga lim →∞ { � } = Untuk → ∞ maka persamaan 2.22 dan 2.23 menjadi: = − � − + + � + − + � , jika . = � − � , jika = .