Gerak Turun Melingkar dengan Gesekan

13.2 Gerak Turun Melingkar dengan Gesekan

Gerak turun benda pada lintasan melingkar ditunjukkan pada Gambar 13.3. Jika tidak ada gesekan antara benda dengan bidang lengkung maka terpenuhi maka energi mekanik konstan. Dengan asumsi energi mekanik pada posisi statr (puncak lintaran nol) dan menganggap bahwa laju awal benda nol maka terpenuhi

1 2 mv  mgr sin  (13.7)

Gambar 13.3 Benda bergerak menuruni lintasan seperempat lingkaran yang memiliki gaya gesekan.

Namun, karena ada gesekan maka laju yang dicapai lebih kecil dari itu. Tidak semua perubahan energi potensial menjadi energi kinetik. Sebagian energi potensial berubah menjadi kalor akibat adanya gaya gesekan. Persamaan energi untuk gerakan dengan adanya gaya gesekan adalah

1 2 mv  mgr sin   W f (13.8)

denga W f adalah kerja yang dilakukan oleh gaya gesekan yang memenuhi

W f   f ds  (13.9) k

Besarnya gaya gesekan kinetik memenuhi persamaan f k   k N dengan

N adalag gaya normal yang dialami benda. Besarnya gaya normal berbeda-beda N adalag gaya normal yang dialami benda. Besarnya gaya normal berbeda-beda

N  mg sin  

mv 2

atau

N  mg sin   (13.10)

mv 2

Dengan demikian, gaya yang dilakukan oleh gaya gesekan menjadi

 2 mv  W f    mg sin  

 ds  (13.11)

Akhirnya, laju benda setiap saat dihitung dengan persamaan

mv 

mv  mgr sin  

Perhatikan persamaan (13.2). Kita ingin mencari laju tetapi melalui integral besaran yang mengandung laju. Tentu sulit bukan? Dalam mempelajari mekanika riil di lapangan kita sering berhadapan dengan kasus seperti ini. Dan penyelesaian seringkali tidak dapat dilakukan dengan cara biasa. Kita harus menggunakan cara numerik. Berikut adalah salah satu cara numerik yang dapat dilakukan.

Untuk memulainya, mari kita bagi lintasan seperempat lingkaran atas n buah litantasan-lintasan kecil yang panjangnya sama seperti ditunjukkan pada Gambar 13.4. Besar sudut tiap elemen adalah

 s  r   (13.14)

Gambar 13.4 Lintasan kita bagi atas elemen-elemen kecil yang sama panjang.

Gaya gesekan arah menyinggung lintasan ke arah atas yang dialami

benda ketika berada pada posisi yang membentuk sudut  adalah f k   k N .

Karena menda mendapat komponen gaya gravitasi yang menyinggung lintasan ke arah bawah sebesar mg cos  maka gaya netto meninggung lintasan ke arah bawah yang dialami benda adalah

f tan  mg cos    k N (13.15)

Dengan memasukkan ungkapan untuk gaya normal dari persamaan (13.10) ke dalam persamaan (14.15) maka kita dapat menulis

 2 mv 

f tan  mg cos    k  mg sin   (13.16)

r  

Percepatan ke arah bawah yang dialami benda adalah a  f tan / m atau Percepatan ke arah bawah yang dialami benda adalah a  f tan / m atau

r  

Dari persamaan ini kita hitung laju benda secara numerik. Kita telah membagi lintasan atas n buah elemen. Kita beri indeks elemen-elemen tersebut dari indeks i = 0 sampai indeks i = n.

Indeks i = 0 adalah posisi awal di mana  0  0 dan kita anggap laju awal v 0  0 . Indeks i = 1 memiliki  1    , indeks i = 2 memiliki  2 2   dan setersunya.

Secara umum indeks i sembarang memiliki sudut  i i   . Perhitungan untuk laju pada berbagai indeks dilakukan sebagai berikut

a 1  g cos  1   k

 g sin 1  

atau v 2

a 2  g cos  2   k  g sin  2  r   

dan seterusnya.

Secara umum, persamaan numerik yang kita gunakan adalah

 i i    i i  

i  v i  1  2 a i r   (13.19)

Gambar 13.5 adalah tampilan Excel hasil perhitungan.

Gambar 13.5 Contoh hasil perhitungan dengan Excel.

Penjelasan tiap kolom sebagai berikut: Cell H1 adalah jumlah eleman yang dibuat, yaitu n = 500

Cell H2 adalah ukuran sudut tiap eleman, yaitu   =(/2)/500

Cell H3 adalah percapatan gravitasi g = 9,82 m/s 2 .

Cell H4 adalah jari-jari lintasan r = 1 Kolom A adalah sudut tiap elemen, mulai dari  0 = 0 hingga  500 = /2 Kolom B adalah percepatan pada berbagai elemen yang dihitung dengan

persamaan (14.16). Untuk menentukan nilai perepatan pada tiap Cell, tempatkan kursor pada Cell A1 lalu ketik persamaan

=$H$3*COS(A1)-$H$4*($H$3*SIN(A1)+C1^2/$H$5)

Kemudian copy Cell A1 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell A500 Kolom C adalah laju benda yang dihitung dengan persamaan (14.17). Mula-

mula diberikan laju awal nol yaitu mengisi Cell B1 dengan 0. Untuk menentukan laju lainnya, tempatkan kursor pada Cell B2 lalu ketik persamaan

=SQRT(C1^2+2*B1*$H$2)

Lalu copy Cell B2 ke cell di bawahnya hingga Cell B500 Setelah itu buat grafik percepatan dengan sumbu datar adalah Kolom A dan

sumbu vertikal adalah kolom B (percepatan) Buat juga grafik laju dengan sumbu datar adalah kolom A (sudut) dan sumbu

vertikal adalam kolom C (laju)

Gambar 13.6 memperlihatkan laju benda pada berbagai nilai koefisien gesekan kinetik. Tampak jelas bahwa laju benda makin kecil jika koefisein gesekan kinetik maakin besar. Bahkan untuk koefisien gesekan kinetik 0,75 benda bergenti di tengah jalan.

Gambar 13.6 Laju benda pada berbagai nilai koefisien gesekan kinetik.