GERAK DUA DIMENSI
Bab 3 GERAK DUA DIMENSI
S ekarang kita akan memperdalam pemahaman kita tentang gerak dan memfokuskan pada gerak dalam ruang dimensi dua. Gerak dalam ruang dua dimensi dapat berupa gerak peluru, gerak melingkar, gerak dalam lintasan elips, dan hiperbola. Namun, pada bab ini kita akan membatasi pada gerak peluru dan derak melingkar. Gambar 3.1 adalah contoh gerak dalam ruang dua dimensi. Ciri gerak dalam ruang dua dimensi adalah lintasan benda selalu berada pada sebuah bidang datar.
Pada persoalan gerak dua dimensi, posisi benda terdefinisi secara lengkap apabila kita menggunakan dua buah koordinat posisi. Di sini kita gunakan koordinat x dan y yang saling tegak lurus. Arah sumbu x dan y dapat kita pilih secara sembarang asal tegak lurus. Pemilihan arah dilakukan untuk mempermudah menyelesaikan persoalan. Contohnya pada gerak sepanjang bidang miring kita sering memilih arah sumbu x searah kemiringan bidang dan sumbu y tegak lurus bidang. Pada persoalan lain subu x sering dipilih berarah horisontal sedangkan sumnbu y berarah vertikal ke atas. Pada bab ini kita akan mempelajari dua macam gerak dua dimensi yang sangat khas, yaitu gerak peluru dan gerak melingkar.
protee-united.com
Gambar 3.1 Contoh gerak dua dimensi. Lintasan benda membentuk satu bidang datar, baik bidang vertikal, horisontal, atau miring.
3.1 Gerak Peluru
Salah satu gerak dua dimensi yang paling popular adalah gerak peluru. Disebut gerak peluru karena gerak ini yang akan ditempuh oleh setiap peluru yang ditembakkan ke atas dengan membentuk sudut tertentu terhadap arah horizontal (tidak vertikal ke atas) atau yang ditembakkan dengan sudut sembarang dari ketinggian tertentu. Walaupun namanya gerak peluru, namun gerak tersebut tidak hanya digunakan untuk membahas peluru. Setiap benda yang dilempat ke atas dalam arah tidak vertikal atau ditembakkan dengan sudut sembarang dari ketinggian tertentu melakukan gerak peluru. Apa pentingnya memahami gerak peluru?
Gambar 3.2 adalah contoh benda yang mengalami gerak peluru yang pernah kita lihat atau kita tonton melalui televisi.
e du s.
e xa ut
Gambar 3.2 Contoh gerak peluru: (a) peluru kendali yang ditembakkan (the-tap.blogspot.com), (b) bola golf yang dipukul (e2marino.wordpress.com), dan (c) roket yang diluncurkan (utexas.edu).
a) Gerak peluru kendali yang ditembakkan umumnya berbentuk gerak peluru. Dengan memahami hukum-hukum gerak peluru maka sudut penembakan dapat diatur sehingga peluru mengenai sasaran.
b) Peluncuran roket yang membawa satelit menempuh lintasan seperti lintasan peluru. Dengan demikian arah peluncuran dapat ditentukan sehingga roket mencapai posisi yang diinginkan untuk menempatkan satelit pada orbitnya.
c) Pemain golf dapat mengatur kekuatan pukulan serta sudut pukulan sehingga bola jatuh tepat atau dekat lubang yang dikehendaki.
d) Pemain basket dapat mengatur kekuatan lemparan maupun sudut
e) Pemain bola dapat mengatur kekuatan serta sudut tendangan sehingga bola tepat masuk ke gawang lawan.Atlit lempar cakram, lempar lembing, maupun tolak peluru dapat mengatur sudut lontaran sehingga dicapai jarak terjauh. Meraka selalu berlatih agar setiap lemparan selalu memenuhi sudut tersebut.
Sekarang kita mulai membahas gerak peluru secara detail. Peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal membentuk sudut elevasi tertentu terhadap sumbu datar akan mengambil lintasan seperti pada Gambar 3.3. Pada saat ditembakkan, peluru memiliki dua komponen kecepatan. Komponen kecepatan arah horisontal dan arah vertikal adalah
v 0 x v 0 cos (3.1a) v 0 y v 0 sin (3.1b)
Puncak lintasan
Lokasi
Lokasi
penembakan
jatuh
Gambar 3.3 Bentuk umum lintasan peluru yang ditembakkan dengan sudut elevasi terhadap sumbu datar. Ketinggian lintasan maupun jarak tempuh (jarak dalam arah horisontal) sangat bergantung pada laju awal dan sudut tembakan.
Lintasan gerak peluru selalu melengkung ke bawah akibat adanya percepatan gravitasi bumi. Salah satu yang khas dari gerak peluru adalah komponen kecepatan arah horizontal selalu tetap selama peluru bergerak. Tetapi komponen kecepatan arah vertikal selalu berubah-ubah (Gambar 3.4). Mula-mula makin kecil dan saat di puncak lintasan, komponen kecepatan arah vertical nol. Kemudian komponen kecepatan membesar kembali namun arahnya berlawanan (arah ke bawah).
v 1y =0
v 1x v 2x
vv
0y
v 2 v 2y
v 0x
Gambar 3.4 Komponen horisontal kecepatan peluru selalu constan tetapi komponen vertikal selalu berubah-ubah. Perubahan komponen vertikal disebabkan oleh adanya percepatan gravitasi bumi. Komponen kecepatan arah horisontal tidak berubah karena tidak ada percepatan dalam arah horisontal.
Perbedaan sifat gerakan tersebut karena dalam arah vertikal ada percepatan gravitasi yang berarah ke bawah sedangkan dalam arah horizontal tidak ada percepatan (Gambar 3.5). Jika kita ambil arah ke kanan sejajar dengan sumbu x positif dan arah ke atas sejajar dengan sumbu y positif maka komponen kecepatan gerak peluru dalam arah sumbu x (horisontal) dan sumbu y (vertikal) adalah
v x v 0 cos (3.2a) v y v 0 sin gt (3.2b)
Dengan demikian, vektor kecepatan gerak peluru tiap saat adalah
v i ˆ v x j ˆ v y
i ˆ v 0 cos ˆ j v 0 sin gt (3.3)
Posisi peluru tiap saat memenuhi persamaan
r ( t ) r 0 v dt
r 0 ˆ i v cos ˆ 0 j v 0 sin gt dt
r 0 i v 0 t cos j v 0 t sin gt (3.4)
dengan r 0 adalah posisi peluru pada saat t = 0. Dari persamaan komponen kecepatan maka kita dapat
menentukan sudut yang dibentuk oleh vektor kecepatan terhadap arah horisontal. Misalkan sudut tersebut adalah (Ganbar 3.6) maka
tan
v 0 sin gt
v 0 cos
gt
tan
v 0 cos
Y v 0y =v 0 sin
a x =0
a y = -g
v 0x =v 0 cos
Gambar 3.5 Peluru mendapat percepatan ke bawah (gravitasi) dan tidak mendapat percepatan arah horizontal. Gerak peluru dapat juga dipandang sebagai dua gerak terpisah, yaitu gerak dengan percepatan konstan arah veritak dan gerak dengan laju konstan arah horisontal.
Gambar 3.6 Vektor kecepatan peluru tiap saat. Arah kecepatan selalu berubah tiap saat karena besar komponen vertikal selalu berubah (karena adanya percepatan gravitasi bumi) sedangkan besar komponen horisontal selalu tetap (karena tidak memiliki percepatan).
Dari persamaan (3.5) kita dapatkan sejumlah informasi. Pada puncak lintasan peluru hanya memiliki kecepatan arah horisontal.
Dengan demikian pada puncak lintasan berlalu = 0 atau tan = 0. Misalkan waktu yang diperlukan sejak peluru ditembakkan hingga mencapai puncak lintasan adalah t m maka berlaku
tan
gt m
v 0 cos
yang menghasilkan
t m cos tan
sin (3.6)
v 0y
Saat kembali ke tanah
v 0x
Saat menembak = -
Gambar 3.7 Arah vektor kecepatan saat peluru ditembakkan dan saat kembali ke tanah. Sudut yang dibentuk vektor kecepatan saat peluru ditembakkan dan saat peluru mencapai tanah sama besar tetapi berlawanan tanda.
Kapan peluru mencapai tanah kembali? Kita asumsikan bahwa ketinggian tempat penembakan sama dengan ketinggian tempat jatuh peluru. Pada saat penembakan, t = 0, terpenuhi
v 0 cos
atau = .
Dengan memperhatikan Gambar 3.7 jelas bahwa pada saat peluru kembali menyentuh tanah maka sudut yang dibentuk oleh vektor kecepatan memenuhi = -. Jika saat ini waktu tempuh adalah T maka persamaan (3.5) dapat ditulis
tan( ) tan
gT
v 0 cos
gT tan tan
v 0 cos
atau
cos tan
sin (3.7)
Dari persamaan ini tampak bahwa T = 2t m atau waktu yang diperlukan untuk mencapai tanah kembali sama dengan dua kali waktu untuk mencapai puncak lintsan.
Gambar 3.8 memperlihatkan posisi maksimum yang dicapai peluru dan jangkauan peluru. Berapakan nilai-nilai tersebut? Mari kita coba hitung. Dengan menggunakan persamaan (3.4) kita dapat menentukan posisi peluru pada saat t m , yaitu
r ( t m ) r 0 ˆ i v 0 t m cos ˆ j v 0 t m sin gt m
Substitusi t m dari persamaan (3.6) sehingga diperoleh
1 ˆ v ˆ 0 r ( t m ) r 0 i v 0 sin cos j v 0 sin sin g sin
2 g
0 0 sin 2 cos ˆ
j sin (3.8)
v 1y =0
v 1x =v 0 cos
v 0y =v 0 sin v 0
v 0x =v 0 cos