Menentukan Posisi dari Kecepatan

2.11 Menentukan Posisi dari Kecepatan

Kita berangkat dari definisi kecepatan sesaat yang diberikan oleh persamaan (2.25). Kita dapat menulis ulang persaman tersebut menjadi

d r  v dt (2.37)

Misalkan pada saat t o benda berada pada posisi r o dan dapa saat t sembarang

posisi benda dinyatakan oleh r . Dua ruas dalam persamaan (2.37) dapat diintegral menjadi

 Integral di ruas kiri dapat segera diselesaikan dan memberikan r   . Integral di r o ruas kanan baru dapat diselesaikan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dari  

fungsi v . Dengan mengganti ruas kiri persamaan (2.37) dengan r   kita r o peroleh

r  r o   v dt

atau  t  

r  r o  v dt  (2.38)

Persamaan (2.38) merupakan bentuk yang umum yang berlaku untuk kecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau  kasus khusus untuk kecepatan yang konstan, v o , maka kecepatan pada

integral persamaan (1.20) dapat dikeluarkan dari integral dan kita peroleh

r  r o  v o dt 

   r o  v o ( t  t o ) (2.39)

Kasus khusus lainnya adalah untuk gerak dengan percepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka kecepatan pada integral persamaan (2.38) diganti dengan kecepatan pada persamaan (2.35) sehingga diperoleh

 r o  v o dt  a ( t  t o ) dt

 r o  v o dt  a ( t   t  o ) dt

 2 r o  v o ( t  t o )  a ( t  t o ) (2.40)

Contoh 2.17 (percepatan konstan)

Sebuah benda jatu memiliki percepatan a   10 ˆ j m/s 2 . Pada waktu nol

jˆ 50 m. Tentukan: (a) kecepatan benda pada sembarang waktu (b) Posisi benda pada sembarang waktu.

detik, kecepatan benda adalah 5 iˆ m/s dan posisinya

Jawab

 Dari soal kita dapat informasi t o = 0, a   10 j ˆ m/s2, v o  5 i ˆ m/s, dan r o  50 ˆ j m.

a) Karena percepatan benda konstan maka kecepatan benda pada sembarang waktu tentukan dari persamaan (2.35), yaitu

= 5 i ˆ  (  10 ˆ j )( t  0 ) = 5 i ˆ  10 t j ˆ m/s

b) Posisi benda tiap saat dihitung dengan persamaan (2.40)

= 50 ˆ j  ( 5 i ˆ )( t  0 )  (  10 j ˆ )( t  0 )

2 = 2 50 j ˆ 

5 t i ˆ  5 t ˆ j = 5 t i ˆ  ( 50  5 t ) ˆ j m

Contoh 2.18

Pada saat t = 0, benda berada pasa posisi r o   20 i ˆ  10 ˆ j m. Benda

1 / tersebut bergerak dengan kecepatan 2 v  10 i  5 t j ˆ

m/s. Tentukan posisi benda pada sembarang waktu

Jawab Karena percepatan benda tidak konstan maka kita gunakan bentuk umum yang

diungkapkan oleh persamaan (2.38)  t  

r  r o  v dt 

10 ˆ j )   10 i ˆ  5 t ˆ j dt

1 /  2 (  20 i ˆ 

ˆ t ˆ  10

 (  20 i  10 j )  10 t i ˆ  t ˆ j

(  20 i ˆ  10 ˆ j )   10 t i ˆ  t j ˆ

   10 t  20  i ˆ    10 t  ˆ j m

Contoh 2.19

Saat akan lepas landas, pesawat harus berlari dulu di landasan hingga mencapai kelajuan tertentu. Saat kelajuan inilah pesawat baru boleh lepas dari tanah (Gambar 2.21). Untuk pesawat Airbus A320, kelajuan saat lepas landas sekitar 80 m/s. Panjang landasan Hussein Sastranegara, Bandung adalah 2.250 meter. Berdasarkan peraturan, pesawat hanya menggunakan sekitar 75% panjang landasan untuk tinggal landas (takeoff) dan menyisakan sekitar 25% panjang landasan untuk jaga-jaga kalau gagal tinggal landas. Sedangkan pada proses pendaratan pesawat dapat menggunakan seluruh panjang landasan.

Tinggal landas

Gambar 2.21 (kiri)Pesawat Airbus A320 sedang lepas landas di bandara Husein Sastranegara, Bandung. (kanan) lindaran pesawat saat tinggal landas dan saat pendaratan.

a) Agar pesawat Airbus A320 lepas landas dari bandara tersebut, berapa percepatan minimum pesawat?

b) Saat mendarat, kelajuan pesawat ini saat menginjak landasan sekitar 245 km/jam. Berapakah percepatan pengereman agar pesawat mendarat aman di landasan Hussein Sastranegara?

Jawab

a) Percepatan minimum pesawat Karena pesawat bergerak pada landasan yang lurus maka kita dapat

sederhanakn menjadi kasus satu dimensi (gerak linier). Untuk kasus satu dimensi persamaan (2.40) dapat ditulis menjadi

Pesawat memulai gerak di landasan dengan laju nol. Misalkan kita asumsikan ujung landasan berada pada koordinat x 0 =0 dan pesawat mulai

bergerak pada saat t 0 = 0 maka kita dapat menulis

atau

x  at

2 Laju pesawat memenuhi

v  v 0  at  at

atau v

Dengan demikian, jarak tempuh pesawat adalah

Pesawat akan meninggalkan landasan jika jarak tempuh hingga takeoff tidak lebih dari 75% panjang landasan, atau

x  0,75  2.250 = 1.687,5 m atau

2 a atau

2 v 2 80

 1 , 9 m/s2

Jadi, percepatan pesawat harus lebih besar daripada 1,9 m/s 2 . Dengan demikian, percepatan minimum yang diperlukan adalah a min = 1,9 m/s 2 .

c) Percepatan pengereman Kecepatan pesawat saat mendarat adalah 245 km/jam = 68 m/s. Dengan

cara perhitungan yang sama dan mengingat bahwa saat pendaratan pesawat dapat menggunakan seluruh panjang landasan maka percepatan pengereman harus memenuhi

2 v 2 68

 1 , 03 m/s 2 .

Dengan demikian, percepatan pengereman minimum yang diperlukan

adalah a min = 1,03 m/s 2 .

Kecepatan Rata-Rata

Dari persamaan (2.39) kita dapat menentukan kecepatan rata-rata sebagai    berikut. Mengingat  r  r  r 0 maka persamaan (2.39) dapat ditulis

menjadi

 r   v dt

Perubahan posisi terjadi selama selang waktu  t  t  t 0 . Dengan menggunakan definisi kecepatan rata-rata maka kita peroleh

Tampak dari persamaan di atas bahwa jika kita mengetahui kecepatan benda maka kecepatan rata-rata tidak dihitung dengan cara menjumlahkan kecepatan-kecepatan yang ada lalu dibagi dengan jumlah suku yang dijumlahkan. Tetapi dari kecepatan yang ada kita hitung perubahan posisi pada dua waktu kemudian membagi perubahan posisi tersebut dengan selisih dua waktu.

Contoh 2.20

Kecepatan gerak sebuah peluru yang ditembakkan dengan laju awal 400 m/s dan membentuk sudut 60 o terhadap horisontal memenuhi

v ( t )  200 i ˆ  j ˆ  200 3  10 t  m/s. Tentukan kecepatan rata-rata dari t = 0 s

sampai t = 5 s. Tentukan juga waktu ketika peluru sampai kembali ke tanah (pada posisi yang horisontal dengan posisi tembakan)

Jawab Yang harus kita lakukan pertama kali adalah mencari perubahan posisi

pada dua waktu tersebut. Perubahan posisi adalah

 r  v dt 

5  200 ˆ i ˆ j 200 3 10 t dt       

Untuk menyelesaikan integral di atas kita gunakan Tabel 2.4 dan diperoleh

2    r   200 t i ˆ  ˆ j  200 t 3  t  

10 2     200  5 i ˆ  ˆ j  i 200 3  5   5     200  0 i ˆ  ˆ j  i 200 3  0   0  

 1000 i ˆ   1000 3  125  ˆ j m

Selang waktu perubahan posisi adalah t = 5 s. Dengan demikian, kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut adalah

1000 i ˆ   1000 3  125  ˆ j

 200 i ˆ   200 3  25  ˆ j m/s

Untuk menentukan waktu sampai peluru kembali ke tanah, kita mulai dengan menentukan perubahan posisi dari t = 0 sampai dengan t sembarang. Persamaanya adalah

 v dt

  200 i ˆ

  ˆ j  200 3  10 t   dt

j  200 t 3  5 t 

 2 200 t i ˆ  ˆ

Peluru kembali lagi ke tanah jika perpindahan dalam arah vertikal nol. Perpindahan arah vertikal adalah

 2 y  200 t 3  5 t

Perpindahan arah vertikal nol jika y = 0 atau

200 2 t 3 t 5  0

Yang memberikan

200 3 t 

 40 3 s