Persoalan Dua Benda
13.6 Persoalan Dua Benda
Salah satu fenomena yang menarik dalam kaitannya dengan gaya tarik antara dua benda adalah persoalan dua benda (two body problem). Misalkan dua benda dengan massa m 1 dan m 2 didekatkan. Maka benda pertama ditarik benda kedua dengan gaya gravitasi yang arahnya sejajar dengan vektor penguhubng dua benda. Pada saat bersamaan benda kedua ditarik benda pertama dengan arah sama dengan vektor penguhung dua benda. Besar gaya tarik yang diamali benda sama. Akibat tarikan tersebut maka dua benda mendapat percapatan yang berbanding terbalik dengan massa sehingga benda tersebut masing-masing bergerak. Akibat gerakan maka terjadi perubahan posisi dan kecepatan. Akibat perubahan posisi maka gaya tarik yang dialami benda menjadi berubah baik besar maupun arah sehingga percapatan yang dialami benda berubah. Akibatnya kedua benda mengubah arag gerakannya. Begitu seterusnya sehingga kalau kita ikuti terus maka akar gerak benda akan berbentuk kurva-kurva yang menarik yang bergaantung pana posisi awal, kecepatan awal dan massa masing-masing beda. Sekarang kita coba bahas contoh sederhana persoalan dua benda dan melakukan perhitungan lintasan dengan Excel.
Misalkan benda m 1 dan m 2 berada pada posisi r 1 dan r 2 . Gaya gravitasi
yang dialami benda pertama dan benda kedua masing-masing
F 12 G 3 ( r 1 r 2 )
r 12
F 21 G 3 ( r 2 r 1 )
r 12
Dengan demikian, percepatan benda m 1 dan m 2 masing-masing
F 12 m 2
a 12
m 1 r 12
a 21
F 21 m 1
m 2 r 12
(setelah selang t) adalah
v 1 ( t t ) v 1 ( t ) a 12 ( t ) t
v 2 ( t t ) v 2 ( t ) a 21 ( t ) t
r 1 ( t t ) r 1 ( t ) v 1 ( t ) t a 12 ( t ) t
r 2 ( t t ) r 2 ( t ) v 2 ( t ) t a 21 ( t ) t
Untuk melakukan perhitungan kita uraikan persamaan dalam komponen-komponennya sebagai berikut
12 ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 )
Gm 2
Gm 2
Gm 1
Gm 1
Berikut ini adalah contoh program yang dapat kita gunakan. Nilai awal yang perlu kita berikan adalah x 10 , y 10 , x 20 , x 20 , v 1x0 , v 1y0 , v 2x0 , v 2y0 . Kita juga perlu informasi massa m 1 ,m 2 , kontanta gravitasi G, dan selang waktu t. Pada Gambar 13.12 kita simpan semua data tersebur di kolom R.
Program yang kita gunakan sebagai berikut Isi kolom 1 dengan waktu. Step waktu kita isi di Cell R12 Cara mengisi kolom A sebagai berikut: isi kolom A1 dengan 0. Lalu tempatkan
mouse pada Cell A2. Kemudian tulis persamaan =A1+$R$12. Kemudian copy Cell A2 ke Cell-Cells di bawahnya hingga batas waktu yang diinginkan.
Isi kolom B1 dengan nilai awal x1 dengan persamaan =$R$1
Isi kolom D1 dengan nilai awal x2 dengan persamaan =$R$5 Isi kolom E1 dengan nilai awal y2 dengan persamaan = $R$6 Isi kolom F1 dengan nilai awal v1x dengan persamaan =$R$3 Isi kolom G1 dengan nilai awal v1y dengan persamaan = $R$4 Isi kolom H1 dengan nilai awal v2x dengan persamaan =$R$7 Isi kolom I1 dengan nilai awal v2y dengan persamaan = $R$8
Gambar 13.12 Tampilan layar Excel program perhitungan
Isi kolom J1 dengan jarak dua benda dengan persamaan =SQRT((D1- B1)^2+(E1-C1)^2)
Isi kolom K1 dengan percepatan a1x dengan persamaan =-$R$11*$R$10*(B1- D1)/J1^3
Isi kolom L1 dengan percepatan a1y dengan persamaan =-$R$11*$R$10*(C1- E1)/J1^3
Isi kolom M1 dengan percepatan a2x dengan persamaan =-$R$11*$R$9*(D1- B1)/J1^3
C1)/J1^3 Kemudian kita hitung nilai t berikutnya dengan persamaan berikut ini Tempatkan
ketik persamaan =B1+F1*$R$12+0.5*K1*($R$12)^2
B2 lalu
Tempatkan
ketik persamaan =C1+G1*$R$12+0.5*L1*($R$12)^2
C2 lalu
ketik persamaan =D1+H1*$R$12+0.5*M1*($R$12)^2
D2 lalu
Tempatkan
ketik persamaan =E1+I1*$R$12+0.5*N1*($R$12)^2
E2 lalu
Tempatkan kursor pada Cell F2 lalu ketik persamaan =F1+K1*$R$12 Tempatkan kursor pada Cell G2 lalu ketik persamaan =G1+L1*$R$12 Tempatkan kursor pada Cell H2 lalu ketik persamaan =H1+M1*$R$12 Tempatkan kursor pada Cell I2 lalu ketik persamaan =I1+N1*$R$12 Tempatkan kursor pada Cell K2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$10*(B2-
D2)/J2^3 Tempatkan kursor pada Cell L2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$10*(C2-
E2)/J2^3 Tempatkan kursor pada Cell M2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$9*(D2-
B2)/J2^3 Tempatkan kursor pada Cell N2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$9*(E2-
C2)/J2^3 Copy Cell A2, B2, C2, E2, F2, G2, H2, I2,K2, L2, M2, dan N2 ke bawah hingga
batas waktu yang diinginkan Copy Cell J1 ke bahwan hingga batas waktu yang diinginkan Plot kurva dari data di kolom B dan C. Kurva yanng diperoleh adalan lintasan
benda m1 Plot kurva dari data di kolom D dan E. Kurva yanng diperoleh adalan lintasan
benda m2 Ubah-ubah nilai posisi awal, kecepatan awal maupun massa benda pada kolom
R dan lihat perubahan kurva lintasan.
kolom R. Kurva yang diperoleh akan berbeda jika menggunakan data awal yang berbeda.
Gambar 13.13 Kurva perhitungan posisi benda pada berbagai waktu menggunakan data awal yang tertera di kolom R.