Hukum Kekekalan Momentum

6.2 Hukum Kekekalan Momentum

Jika ada sejumlah gaya yang bekerja pada sistem maka gaya yang digunakan dalam hukum II Newton merupakan gaya total dan momentum yang digunakan juga momentum total. Hukum II Newton memiliki bentuk yang umum

F tot  (6.5)

d p tot

dt

di mana 

F tot   F i (6.6)

p tot   p i (6.7)

Dalam menentukan gaya total pada persamaan di atas maka gaya antar anggota sistem tidak diperhitungkan karena akan saling menghilangkan. Sebagai contoh sistem kita terdiri dari dua benda. Gaya pada benda 1 oleh benda 2 dan gaya pada benda 2 oleh benda 1 merupakan gaya antar anggota sistem. Kedua gaya tersebut tidak diperhitungkan dalam menentukan gaya total. Sebab gaya pada benda 1 oleh benda 2 dan gaya pada benda 2 oleh benda 1 persis sama dan berlawanan arah sehingga saling menolkan pada saat dijumlahkan. Misalkan sistem terdiri dari dua muatan listrik. Dua muatan listrik tersebut saling menarik dengan gaya Coulumb. Tetapi karena dua benda tersebut dipandang sebagai sebuah sistem maka gaya Coulumb tersebut tidak diperhitungan. Yang diperhitungan adalah gaya dengan benda lain selain dua benda tersebut. Jika dua benda tersebut berada di bawah pengaruh gravitasi bumi maka hanya gaya gravitasi bumi yang dimasukkan dalam menghitung gaya total. Gaya total adalah jumlah gaya gravitasi bumi pada benda 1 dan benda 2.

Kasus khusus terjadi jika gaya total yang bekerja pada sistem nol. Pada kasus ini maka diperoleh

d p tot 

0 (6.8) dt

Persamaan ini menyatakan bahwa selama gaya total yang bekerja pada sistem sama dengan nol maka momentum sistem selalu tetap nilainya

p tot  p ' tot (6.9)

di mana tanda petik menyatakan keadaan akhir dan tanpa tanda petik menyatakan keadaan awal.

 p' m

Gambar 6.5 Momentum total sebelum dan sesudah tumbukan sama.

Sebaga contoh adalah sebuah sistem yang mengandung n benda    dengan momentum p 1 , p 2 , …, p n . Kemudian antar anggota sistem

 terjadi tumbukan sehingga dihasilkan m benda dengan momentum p ' 1 , 

 p ' 2 , …, p' m (Gambar 6.6). Di sini m tidak harus sama dengan n (jumlah

anggota sistem sebelum dan sesudah tumbukan tidak harus sama). Jika m < n maka setelah terjadi tumbukan ada anggota sistem yang bergabung dan jika m > n maka setelah tumbukan ada anggota sistem yang pecah. Karena selama tumbukan hanya terjadi gaya antar anggota sistem maka

p 1  p 2  ...  p n  p ' 1  p ' 2  ...  p ' m (6.10)

Contoh 6.3

Sebuah benda bermassa 0,5 kg bergerak dengan kecepatan 

v 1  4 i ˆ m/s. Benda kedua yang bermassa 0,8 kg bergerak dengan

kecepatan v 2   4 i ˆ  3 ˆ j m/s. Jika setelah tumbukan benda pertama

memiliki kecepatan v 1 '   2 i ˆ  1 ˆ j m/s, tentukan kecepatan benda kedua setelah tumbukan.

Jawab Momentum benda pertama sebelum tumbukan

p 1  m 1 v 1  0 , 5  ( 4 i ˆ )  2 , 0 i ˆ kg m/s

Momentum benda pertama setelah tumbukan 

p 1 '  m 1 v 1 '  0 , 5  (  2 i ˆ  1 j ˆ )   1 , 0 i ˆ  0 , 5 ˆ j kg m/s

Momentum benda kedua sebelum tumbukan 

p 2  m 2 v 2  0 , 8  (  4 ˆ i  3 ˆ j )   3 , 2 i ˆ  2 , 4 ˆ j kg m/s

Karena tidak ada gaya luar yang bekerja maka berlaku hokum kekekalan momentu

atau 

  0 , 2 i ˆ  1 , 9 j ˆ kg m/s 443

Dengan demikian kecepatan benda kedua setelah tumbukan

  0 , 25 ˆ i  2 , 4 ˆ j m/s

Contoh 6.4

Sebuah benda bermassa 1,0 kg melakukan tumbukan berhadap-hadapam dengan benda lain yang bermassa 8,0 kg. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Laju benda pertama sebelum tumbukan adalah 20,0 m/s dan laju benda kedua sebelum tumbukan adalah 5,0 m/s. Tentukan laju gabungan benda setelah tumbukan.

Jawab Karena tumbukan berlangsung segaris, kita gunakan metode skalar. Momentum benda pertama sebelum tumbukan

p 1  m 1 v 1  1 , 0  20 , 0 = 20,0 kg m/s

Momentum benda kedua sebelum tumbukan

p 2  m 2 v 2  8 , 0  (  5 , 0 ) = -40,0 kg m/s

Tanda negatif diberikan karena arah momentum benda kedua berlawanan dengan arah momentum benda pertama. Momentum total sebelum tumbukan adalah

Momentum total setelah tumbukan hanya momentum benda yang telah menyatu, yaitu

Dengan menggunakan hukum kekekalan momentum maka

Jadi setelah tumbukan, gabungan kedua benda bergerak searah dengan arah datang benda kedua.

Contoh 6.5

Gambar 6.6 memperlihatkan sebuah bola biliar yang bergerak dengan laju 3,0 m/s ke arah sumbu x positif menumbuk bola biliar sejenis yang sedang diam. Setelah tumbukan kedua bola bergerak dengan membentuk sudut masing-masingt 45 o terhadap arah x positif. Berapakah kecepatan masing-masing bola setelah tumbukan?

Jawab

 = 45 o

Gambar 6.6 Gambar untuk contoh 6.5

Berdasarkan Gambar 6.6 kecepatan awal dan kecepatan akhir masing-masing bola billiard adalah

v 1  3 i ˆ m/s

1  v ' 1  i ˆ cos 45  ˆ j sin 45 

2  v ' 2  i ˆ cos 45  ˆ j sin 45 

Kita terapkan hukum kekekalan momentum sebagai berikut

1  i cos 45  j ˆ sin 45   mv ' 2  i ˆ cos 45  ˆ j sin 45 

3 o m i  mv '

atau

Samakan suku yang mengandung vektor satuan yang sama di ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh

v ' 1  v ' 2  cos 45

 v ' 1  v ' 2  sin 45  0

Dari persamaan teakhir kita simpulkan v ' 1  v ' 2 . Substitusi ke dalam persamaan sebelumnya diperoleh

Jadi kecepatan loka biliar setelah tumbukan adalah 

o  i ˆ cos 45  ˆ j sin 45 

2 cos 45

3 o  sin 45 

 ˆ  i  ˆ j

o 

cos 45 

i ˆ  ˆ j m/s

o  i ˆ cos 45  ˆ j sin 45 

2 cos 45

3 o  sin 45 

 i

o 

cos 45 

 3 

i ˆ  ˆ j m/s