Tumbukan Berantai (Kasus khusus 1)

6.11 Tumbukan Berantai (Kasus khusus 1)

Sekarang kita membahas satu kasus menarik, yaitu tumbukan berantai tiga benda yang bersifat tidak elastis. Topik ini dibahas cukup detail oleh Hart dan Hermann [J.B. Hart and R.B. Hermann, American Journal of Physics 36, 46 (1968)]. Kita mulai dengan membahas tumbukan dua benda lalu memperluas menjadi tumbukan tiga benda. Agar lebih mudah kita anggap tumbukan terjadi dalam satu arah. Tumbukan dua benda diilustrasikan pada Gambar 6.23. Sebuah benda dengan massa M dan kecepatan awal U menumbuk benda m yang mula-mula diam. Akibat tumbukan tersebut maka terjadi transver momentum dan energi kinetik dari benda M ke benda m. Transfer momentum memenuhi hukum kekekalan momentum sedangkan transfer energi kinetik tidak memenuhi hukum kekekalan energi kinetik karena tumbukan tidak elastis. Kita anggap koefisien elastisitas tumbukan adalah e.

Gambar 6.23 Tumbukan tidak elastis dua benda. Benda yang ditumbuk mula-mula diam.

Dengan menggunakan persamaan (6.18) maka koefisien elastisitas dapat ditulis menjadi

atau

V  v  eU (6.58)

Hukum kekekalan momentum selalu berlaku pada semua jenis tumbukan. Persamaan hukum kekekalan momentum untuk tumbukan di atas adalah

MU  MV  mv (6.59)

Jika kita substitusi persamaan (6.58) ke dalam persamaan (6.59) maka kita dapatkan

MU  M ( v  eU )  mv

( 1  e ) MU  ( M  m ) v

atau

v  U (6.60)

Energi kinetik mula-mula benda pertama (sebelum tumbukan) adalah

K 0  MU (6.61)

Energi kinetik yang ditrasfer ke benda kedua adalah

K '  mv

2  M  m 

1 2 ( 1  e ) mM

Dengan demikian perbandingan energi kinetik yang ditrasfer dengan energi kinetik benda penumbuk adalah

K 2 ' ( 1  e ) mM

Sekarang kita perluas kasus dengan melihat sistem tiga benda. Kita sisipkan benda bermassa m’ antara dua benda. Mula-mula benda m’ dan m dalam keadaan diam. Benda M menumbuk benda m ’ kemudian benda m ’ menumbuk benda m seperti diilustrasikan pada Gambar 6.24. Kita akan menentukan berapa energi kinetik yang ditrasfer ke benda m. Dan berapa massa benda m ’ agar energi kinetik yang ditransfer ke benda m paling besar.

Misalkan setelah tumbukan, laju m ’ adalah u. Energi kinetik m’ setelah ditumbuk oleh M adalah 2 ( 1 / 2 ) m ' u . Dengan demikian, fraksi

energi benda M yang ditransfer ke menda m adalah

( 2 1 / 2 )  mv M . m 

( 2 1 / 2 ) MU

mv  2 2

( 1 / 2 ) m ' u ( 1 / 2 ) MU

2 ( 2 1  e ) mm ' ( 1  e ) m ' M

m’

Gambar 6.24 Tumbukan berantai tiga benda. Mula-mula hanya benda M yang memiliki laju awa. Benda m ’ dan m mula-mula dalam keadaan diam.

Pertanyaan berikutnya adalah berapakan m ’ agar terjadi transfer energi paling besar dari M ke m? Kita dapat menulis ulang fraksi transfer energi pada persamaan (6.64) sebagai berikut

M . m  ( 1  e ) mM

Nilai m’ yang menyebabkan  M,m maksimum adalah yang memenuhi

dm '

Dengan menggukana kalkulus sederhana maka kita akan dapatkan persamaan berikut ini

2 3 mMm ' m 2 '  0 (6.67)

Dengan demikian, nilai m ’ yang menyebabkan transfer energi paling besar dari M ke m adalah

m '  mM (6.68)

Persamaan ini sangat mirip dengan persamaan “impendance matching ”. Jika kita ingin melewatkan gelombang dari medium 1 ke medium 2 dan antara dua mediam dipasang medium perantara. Misalkan

impedansi medium 1 adalah Z 1 dan impedansi medium 2 adalah Z 2 . Gelombang akan ditransfer sebesar-besarnya dari medium1 ke medium 2 jika impedansi medium perantara memenuhi Z = (Z 1 Z 2 ) 1/2 . Jika pada kaca yang dolapisi film tipis. Jika indeks biasa kaca adalah nk dan indeks bias udara adalah nu. Maka agar cahaya dapat menembus lapisan tipis sebanyak mungkin maka indeks bias lapisan tipis harus memenuhi n = (n k n u ) 1/2 .