Menentukan Kecepatan dari Percepatan

2.10 Menentukan Kecepatan dari Percepatan

Kita mulai dari definisi percepatan sesaat pada persamaan (2.31). Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi

d v  a dt (2.32)

Lalu kita integral ruas kiri dan kanan dengan batas-batas: (i) kecepatan 

dari v o sampai v dan (ii) waktu dari t sampai o t :

d v  a dt  (2.33) 

 Integral ruas kiri bisa segera diselesaikan dan hasilnya adalah v  v o . Integral di ruas kanan baru dapat dilakukan setelah kita mengetahui 

bentuk eksplisit dari fungsi a . Dengan mengganti integral ruas kiri  dengan v  v o kita dapatkan

v  v o  a dt 

v  v o  a dt  (2.34)

Persamaan (2.34) merupakan bentuk yang umum yang berlaku untuk percepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk percepatan yang konstan, maka percepatan pada integral persamaan (2.34) dapat dikeluarkan dari integral dan kita peroleh

v  v o  a dt 

   v o  a ( t  t o ) (2.35)

Contoh 2.14 (percepatan konstan)

Pada saat t o = 2 s sebuah partikel memiliki kecepatan 3 i ˆ  4 ˆ j m/s. Berapa kecepatan partikel pada sembarang waktu jika percepatannya

adalah  10 i ˆ  2 ˆ j m/s 2 ?

Jawab

Dari soal kita daatkan informasi t o = 2 s, v o  3 i ˆ  4 ˆ j m/s dan 

a   10 i ˆ  2 ˆ j m/s 2 . Karena percepatan konstan maka kita bisa langsung menggunakan persamaan (2.35)

Contoh 2.15 (percepatan sembarang)

Sebuah benda memiliki percepatan 2 a   4 t i ˆ 

5 t ˆ j m/s 2 . Jika

pada saat t = 4 kecepatan benda adalah v o   10 ˆ j m/s, tentukan kecepatan benda pada sembarang waktu.

Jawab Karena benda memiliki percepatan yang sembarang, maka kita gunakan

persamaan umum (2.34). Kita dapatkan kecepatan benda adalah  t  

v  v o  a dt 

j  (  4 t i ˆ  5 t j ˆ ) dt 

10 ˆ j   2 t i ˆ  t ˆ j   10 ˆ j  2  t  16  i ˆ  t  64  ˆ j

  32  2 t  i   t   ˆ j m/s

Bagi kalian yang mungkin masih kurang akrab dengan operasi integral, Tabel 2.4 adalah hasil operasi integral sejumlah fungsi yang akan sering kita gunakan dalam buku ini.

Percepatan Rata-Rata

Dari persamaan (2.34) kita dapat menentukan percepatan    rata-rata sebagai berikut. Mengintar  v  v  v 0 maka persamaan (2.34)

dapat ditulis menjadi

 v  a dt  (2.35)

Tabel 2.4 Hasil operasi integral sejumlah fungsi yang sering kita jumpai Fungsi f(t)

Hasil inetegral f ( t ) dt df/dt

1 n 1

dengan n adalah sembarang bilangan yang tidak sama dengan -1 dan C adalah konstanta sembarang

cos(t )

sin( t )  C

sin(t )

 cos( t )  C

cos( t  ) 1 sin(  t )  C 

dengan  adalah sembarang bilangan

sin( t  ) 1  cos(  t )  C

Perubahan kecepatan terjadi selama selang waktu  t  t  t 0 . Dengan

a dt

Tampak dari persamaan (2.36) bahwa jika kita mengetahui percepatan benda maka percepatan rata-rata tidak dihitung dengan cara menjumlahkan percepatan-percepatan yang ada lalu dibagi dengan jumlah suku yang dijumlahkan. Tetapi dari percepatan yang ada kita hitung perubahan kecepatan pada dua waktu kemudian membagi perubahan kecepatan tersebut dengan selisih dua waktu.

Contoh 2.16

Percepatan getaran atom yang terikat pada molekul memenuhi persamaan 

a ( t )  a 0 cos(  t ) i . Berapa percepatan rata-rata antara t 1 = /4 sampai t 2 = /2?

Jawab Pertama kita hitung perubahan kecepatan pada dua selang waktu tersebut,

yaitu

 v  a dt   a 0 cos(  t ) i ˆ  dt  a

0 i ˆ cos( t ) dt  

Selanjutnya kita gunakan tabel integral yang telah diberikan (Tabel 2.4) untuk menghitung integral yang ada sehingga diperoleh

 sin(  t )  t 1   sin(  t 2 )  sin(  t 1 ) 

 sin      sin      

 sin    sin  

Selang waktu perubahan kecepatan adalah

t 

Maka percepatan rata-rata selama selang waktu tersebut adalah

 1  0 , 373 a 0 i ˆ

Gambar 2.21 memperlihatkan kurva percepatan dan lokasi percepatan rata-rata.

Gambar 2.21 Percepatan sebagai fungsi waktu (dinormalisasi terhadap percepatan maksimum) dan percepatan rata-rata antara t = /4 sampai t = /2.