Momen Inersia Benda Kontinu

9.3 Momen Inersia Benda Kontinu

Menentukan momen inersia benda-benda kontinu seperti tongkat, bola, dan silinder tidak dapat dilakukan dengan penjumlahan sederhana

Seperti ditunjukkan dalam Gambar 9.6, benda kontinu besar dibagi atas elemen-elemen kecil. Massa masing-masing elemen adalah m 1 , m 2 , m 3 , …,m i , …. Jarak tegak lurus elemen massa ke sumbu putar adalah r 1 , r 2 , r 3 , …, r i ,….. Momen inersia benda kontinu dapat ditulis sebagai

1 r 1   m 2 r 2  ...   m i r i  ...   m N r N

m i r i (9.9)

m 1

m 2 m 3 r 3

m i

Gambar 9.6 Benda kontinu dibagi atas elemen-elemen kecil. Tiap elemen dapat dipandang sebagai benda titik. Jumlah elemen adalan N yang nilainya menuju tak berhingga .

Seperti yang umum dilakukan, jika kita mengambil m i  0 maka

 m i  dm

Dengan transformasi ini maka momen inersia yang diberikan oleh persamaan (9.9) berubah menjadi

I 2  r dm  (9.10)

Integral pada persamaan (9.10) seringkali sulit dilakukan meskipun untuk benda-benda yang bentuknya teratur seperti bola, silinde, persegi panjag, dan lain-lain. Untuk menghindari kesulitan tersebut umumnya disediakan data momen inersia yang bisa langsung digunakan. Sebagai contoh Gambar 9.7 adalah momen inersia sejumlah benda teratur terhadap sumbu yang lokasinya melewati pusat massa atau melewati ujung benda. Pada contoh berikut kita akan mencoba menghitung langsung momen inersia dengan menggunakan persamaan (9.10).

Contoh 9.4

Batang dengan panjang L memiliki rapat massa per satuan panjang  yang konstan. Sebuah sumbu putar yang tegak lurus batang dipasang pada jarak a dari salah satu ujung batang. Berapa momen inersia terhadap sumbu tersebut?

2 2 2 I 2  MR I  M ( R

1  R 2 ) / 2 I  MR / 2

2 2 2 I 2  M ( a  b ) I  2 MR / 5 I 

2 MR / 3

I 2  ML / 12 I  ML / 3

Gambar 9.7 Momen inersia sejumlah benda yang memiliki bentuk simetri .

Jawab Pertanyaan di atas diilustrasikan pada Gambar 9.8.

Sumbu

dx

x = -a

x = L-a

Gambar 9.8 Gambar untuk contoh 9.4

Sekarang kita membahas persoalan satu dimensi sehingga kita dapat mengganti variabel r dengan x. Tampak batang ditempatkan pada sumbu x, dalah satu ujung berada pada koordinat x = -a dan ujung lain pada koordinat x = L-a. Perhatikan elemen kecil setebal dx yang memiliki jarak x dari sumbu. Massa elemen tersebut adalah dm = dx. Dengan demikian momen inersia memenuhi persamaan integral

I 2  x dm 

 2 x dx  

 2  x dx 

3   a

  ( L  a )  (  a ) 

Karena massa jenis batang konstan maka massa batang adalah M = L. Dengan demikian, momen inersia dapat ditulis sebagai

1   L

Sekarang kita tinjau dua kasus khusus yaitu jika sumbu berada di salah satu ujung dan berada di tengah-tengah batang. Jika sumbu berada di salah satu ujung maka a = 0 sehingga

1 M  3 

1  2 ML

Jika sumbu berada di tengah-tengah batang maka a = L/2 sehingga momen inersia menjadi

Misalkan massa jenis batang yang memiliki panjang L tidak konstan. Massa jenis pada berbagai posisi memenuhi persamaan    0  bx dengan b adalah konstanta positif. Sumbu rotasi ditempatkan pada ujung

batang yang memiliki massa jenis terkecil. Berapa momen inersia batang terhadap sumbu tersebut?

Jawab Batang pada soal di atas diilustrasikan pada Gambar 9.9.

Sumbu

dx

x=L

Gambar 9.9 Gambar untuk Contoh 9.5

Perhatikan elemen setebal dx yang berada pada jarak dari sumbu. Massa elemen tersebut adalah dm = dx = ( 0 +bx)dx. Momen inersia batang

adalah

I 2  x dm 

0  bx ) dx

0 x  bx ) dx

  0 x  bx

0 L  bL