 kalikan dua ruas dengan  e k seningga menjadi

 2  kalikan dua ruas dengan  e k seningga menjadi

 2    dy

f (  ) 

Kalian dapat membuktikan dengan mudah bahwa ruas kiri dapat ditulis ulang sehingga diperoleh bentuk berikut ini

 ye   e f (  ) (4.115)

Kita integral ruas kiri dan kanan persamaan (4.115) sehingga diperoleh

 2  ye   

atau

e f (  ) d   Ce

Substitusi kembali y dan f() dari persamaan (4.112) dan (4.113) ke dalam persamaan (4.116) sehingga diperoleh

2 gr  sin   cos

 k    d   Ce

Jika diintegralkan maka kita peroleh hasil berikut ini

2 2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos   3  k sin    Ce

Benda mulai dilepas pada saat sudut awal  0 . Pada sudut ini laju benda v = 0. Dengan demikian

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos 3

0   k sin  0   Ce

Dari sini kita dapatkan

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos

0  3  k sin  0  e (4.118)

Benda meninggalkan permukaan ketika v = v p dan sudut adalah  p . Persamaan yang dipenuhi adalah

2 2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos  p  3  k sin  p   Ce (4.119)

Tetapi dengan menggunakan persamaan (4.108) kita dapat menulis

rg cos  p 

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos  p  3  k sin  p   Ce

Selanjutnya dengan memasukkan C pada persamaan (4.118) kita dapat menulis

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos  p  3  k sin  p 

rg 2 cos 

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos  0  3  k sin  0  e

2 2  (    rg ) cos 

2 gr

2  ( 2  k  1 ) cos   e

cos  0 

sin  0  

2 3  sin e k (  P   0  ) 

( 2   1 ) cos   e k (  P   0 p ) 2  k  p cos  0 

cos  

k  sin  p  e

0 sin 

Sudut  0 adalah sudut ketika benda mulai meluncur. Sudut ini ditentukan oleh koefisien gesekan statis dan memenuhi persamaan

 s = tan (sudut kemiringan bidang)

Ketika sudut jari-jari yang dibentuk benda adalah  maka sudut kemiringan bidang adalah 90 o - . Dengan demikian

s  tan( 90   0 )  cot  0

Dengan hubungan ini maka

cos  0 

sin  0 

Persamaan (4.120) dapat diselesaikan secara numerik untuk mencarai  P jika diberikan informasi koefisien gaya gesekan kinetik dan stattik.

Contoh carilah  0 dan  P jika koefisien gaya gesekan statis dan kinetik masing-masing 0,5 dan 0,3. Dengan nilai ini maka cos  0 = 0,8944,

p  1 , 471   0 , 82  cos  p  0 , 8944 e 

0 , 6 cos (  P  0 , 4636  )

0 , 6 (  0 , 4636  ) 0 , 9 sin 0 , 4472 e  P

0 , cos 6 

p   1 , 206 cos  p  1 , 2652 e  P  1 , 3239 sin  p

0 , 2 6 , 206 cos 

p  1 , 3239 sin  p 1 ,

 P 2652 e   0

Solusi persamaan di atas harus diselesaikan secara numerik. Dengan menggunakan Excel kita dapatkan solusinya adalah  P = 0,9963 rad = 57,1 o

Jalan Raya

Ketika kendaraan melewati jalan yang menikung (Gambar 4.42), pengendara harus hati-hati dan harus mengurangi kecepatan. Kenapa? Jika kecepatan terlalu tinggi maka kendaraan dapat terlempar keluar dari jalan. Selama melewati lintasan jalan menikung (berbentuk lingkaran) kendaraan memiliki percepatan sentripetal akibat gesekan antara roda kendaraan dan jalan raya. Jika f s adalah gaya gesekan, maka selama berada pada lintasan laju mobil harus memenuhi

v  (4.121)

dengan R adalah jari-jari kelengkungan jalan raya dan m adalah massa kendaraan. Gaya gesekan memilii nilai maksimum. Nilai tersebut kita sebut gaya gesekan maksimum yang disimbolkan dengan f s,maks . Nilai gaya

gesekan yang dialami kendaraan memenui f s ≤ f s,maks . Masukkan ketidaksamaan ini ke dalam persamaan (4.121) maka kita peroleh bahwa laju kendaraan agar tetap berada pada lintasan lingkaran harus memenuhi

f s, maks R

Dengan demikian, ada laju maksimum yang diijinkan agar kendaraan tetap berada pada lintasan. Laku maksimum tersebut adalah

v maks  (4.123)

f s , maks R

Selama melewati lintasan lingkaran, laju kendaraan tidak boleh terlalu besar. Kendaraan yang rodanya mulai mulus harus lebih berhati-hati lagi karena gaya gesekan antara roda dan jalan raya lebih kecil.

Gambar 4.42 Ketika melewati lintasan melengkung, kendaraan harus berhati-hati dan mengurangi kecepatan.