Kecepatan Sesaat

2.6 Kecepatan Sesaat

Kecepatan rata-rata tidak memberikan informasi gerak benda tiap saat. Apakah suatu saat kecepatan benda membesar, mengecil, atau bahkan berhenti tidak terkandung dalam kecepatan rata-rata. Padahal kebanyakan benda memiliki kecepatan yang berbeda pada saat yang berbeda. Sangat jarang benda memiliki kecepatan yang sama selama perjalanan, apabila dalam selang waktu yang lama. Gambar 2.17 adalah besar kecepatan dan ketinggian pesawat garuda Indonesia GA-89 yang terbang dari Amsterdam ke Jakarta tanggal 15 Mei 2015. Kurva kuning adalah ketinggian sedangkan kurva biru adalah besar kecepatan. Tampak bahwa besar kecepatan berubah saat tinggal landas dan saat akan mendarat. Selama perjalanan, besar kecepatan hanya mengalami sedikit perubahan. Perubahan tersebut umumnya disebabkan kondisi cuaca di mana kadang pesawat sedikit melambat atau sedikit cepat.

Gambar 2.17 Besar kecepatan dan ketinggian pesawat garuda GA-89 penerbangan Amsterdam-Jakarta tanggal 15 Mei 2015 (sumber: Flightaware.com)

Informasi tentang kecepatan benda pada berbagai waktu tertuang dalam besaran gerak yang bernama kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat diperoleh dari kecepatan rata-rata dengan mengambil selang waktu yang sangat kecil, yaitu mendekati nol. Dapat pula dikatakan bahwa kecepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata pada selang waktu yang sangat kecil (mendekati nol). Jadi, definisi kecepatan sesaat adalah

  r 21 v 

dengan t  0 . Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk diferensial sebagai berikut

v  (2.25)

dt

Karena kecepatan sesaat merupakan kecepatan pada berbagai waktu maka nilai kecepatan sesaat harus diberikan pada berbagai nilai waktu. Dengan demikian, kalau ditabelkan maka tabel kecepatan sesaat sangat panjang tergantung dari selang waktu yang dipilih. Makin kecil selang waktu yang dipilih untuk mendeskripsikan kecepatan maka jumlah data kecepatan rata-rata menjadi sangat panjang.

Vektor kecepatan memiliki komponen-komponen dalam arah sumbu-sumbu koordinat. Besarnya kecepatan sesaat dinyatakan dalam komponen-komponen kecepatan adalah

2 2 v 2  v x  v y  v z (2.26) di mana

v x adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu-x; v x adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu-y; v x adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu-z.

Contoh 2.9

 Sebuah benda bergerak dengan posisi yang memenuhi 2 r  4 t i ˆ  ( 6 t  5 t ) ˆ j m. Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 s.

Jawab Kecepatan sesaat pada saat t = 2 s sama dengan kecepatan rata-rata

antara 2 s sampai 2+t s di mana nilai t diambil mendekati nol. Untuk menentukan kecepatan sesaat maka kita tentukan perpindahan dari t = 2 s sampai t = 2+t s. Kita mulai dari menentukan posisi benda.

Pada saat t = 2 s posisi benda adalah 

Pada saat t = 2+t s posisi benda adalah

8  4  t  i ˆ   8  14  t  5  t  ˆ j m

Perpindahan benda selama selang waktu t = 2 s sampai t = 2+t s adalah

  8  4  t  i ˆ   8  14  t  5  t  ˆ j   8 i ˆ  8 ˆ j   2 4  t i ˆ  

14  t  5  t  ˆ j m

Kecepatan rata-rata benda antara t = 2 s sampai t = 2+t s adalah adalah

14  t  5  t  j ˆ

 4 i ˆ   14  5  t  ˆ j m/s

Kecapatan sesaat benda pada saat t = 2 s diperoleh dengan mengambil t  0 yaitu

v  4 i ˆ   14  5  0  j ˆ  4 i ˆ  14 ˆ j m/s

Cara lain adalah dengan metode diferensial. Kecepatan sesaat benda pada sembarang waktu adalah

 4 ˆ i  ( 6  10 t ) ˆ j m/s

dt

Kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 menjadi

v  4 i ˆ  ( 6  10  2 ) ˆ j  4 ˆ i  14 ˆ j m/s

Bagi kalian yang mungkin masih kurang akrab dengan operasi diferensial, Tabel 2.1 adalah hasil operasi diferensial sejumlah fungsi yang akan sering kita gunakan dalam buku ini.

Contoh 2.10

Kembali ke posisi pada Contoh 2.9. Tentukan kecepatan rata-rata antara t = 2 s sampai t = 4 s, antara t = 2 s sampai t = 2,5 s, antara t = 2 s sampai t = 2,01 s, antara t = 2 s sampai t = 2,0001 s, dan antara t = 2 s sampai t = 2,000001 s.

Jawab Tabel 2.2 adalah posisi, perpindahan, dan kecepatan rata-rata benda.

Tabel 2.1 Hasil operasi diferensial sejumlah fungsi yang sering kita jumpai Fungsi f(t)

Hasil diferensial df/dt

t n nt n-1

dengan n adalah sembarang bilangan Cos(t)

-Sin(t)

Sin(t)

Cos(t)

Cos( t)

-  Sin(t)

dengan  adalah sembarang bilangan Sin( t)

 Cos(t)

e  t e  t

Tabel 2.2 Posisi, perpindahan, dan kecepatan rata-rata benda pada contoh 2.10 

 r ( 2 ) [m]

v [m/s]

8 i ˆ  8 j ˆ 2 16 i ˆ  56 ˆ j 8 i ˆ  48 j ˆ 4 i ˆ  24 ˆ j 0,5

10 i ˆ  16 , 25 ˆ j 2 i ˆ  8 , 25 ˆ j 4 i ˆ  16 , 5 ˆ j 0,01

8 , 04 i ˆ  8 , 1405 ˆ j 0 , 04 i ˆ  0 , 1405 ˆ j 4 i ˆ  14 , 05 ˆ j 0,0001

0 , 0004 iˆ 4 i ˆ  14 , 00005 j ˆ

8 , 0004 iˆ

 8 , 00140005 jˆ  0 , 001400005 jˆ

 6 8 5 , 000004 iˆ 4  10 i ˆ  

1 , 4  10 j ˆ 4 i ˆ  14 , 000005 j ˆ

 8 , 00140005 jˆ

Tampak pada Tabel 2.2 bahwa jika t diambil makin menuju nol maka

kecepatan rata-rata mendekati v  4 i ˆ  14 ˆ j m/s. Ini tidak lain daripada kecepatan sesaat pada saat t = 2 s.

Apa pentingnya memahami kecepatan? Sebuah pesawat tempur musuh ditangkap oleh radar sedang memasuki wilayah suatu negara. Pesawat tersebut akan ditembak jatuh dengan rudal. Tanpa mengatahui posisi dan kecepatan pesawat tersebut serta kecepatan jelajah rudal yang akan digunakan tidak akan mungkin menembak jatuh pesawat tersebut. Pesawat tempur harus memiliki kecepatan yang sangat tinggi agar bisa menghindar dari tembakan senjata musuh. Satelit yang diluncurkan harus memiliki kecepatan yang sangat teliti ketika mulai mengelilingi bumi agar tidak keluar dari orbitnya. Kecepatan alat-alat transportasi menjadi parameter penting dalam manajemen distribusi barang dan jasa yang teliti, baik antar kota, antar pelabuhan, maupun antar negara. Kalian dapat mendaftar puluhan aplikasi lain yang menggunakan variabel kecepatan sebagai variabel utama.