Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah:
Sifat 1:
Jika fungsi produksi =
��, � homogen secara linear , maka rata-rata produk buruh dan rata-rata produk modal dapat dinyatakan sebagai fungsi dari rasio
modal – buruh, � ≡
� �
saja. Bukti:
Untuk membuktikan sifat 1, bagilah setiap variabel bebas fungsi produksi pada 2.1 dengan suatu faktor =
1 �
. Hal ini akan mengubah output dari menjadi
=
�
. Ruas kanan dari 2.1 akan menjadi: �
� �
,
� �
= �
� �
, 1 = � �, 1 dengan � ≡
� �
. Karena variabel-variabel
� dan � pada fungsi semula harus diganti secara berturut-turut dengan
� dan l, sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio modal dengan buruh
� saja, katakan ��, yang merupakan fungsi dengan argumen tunggal
�, meskipun dua variabel bebas � dan � sebenarnya terlibat dalam argumen tersebut. Dengan demikian akan diperoleh:
�
= �� dan
2.2
�
=
� �
�
=
�� �
. 2.3
Karena kedua rata-rata produk bergantung pada � saja, maka homogen secara
linear menerangkan bahwa selama rasio
� �
tetap konstan apapun tingkat absolut �
dan �, rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, fungsi produksi
homogen berderajat satu adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel � dan
�. Jadi perubahan proporsional yang sama dalam � dan � dengan mempertahankan konstanta
� tidak akan mengubah besaran rata-rata produk.
Sifat 2:
Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear, maka produk marjinal dapat dinyatakan sebagai fungsi dari
� saja. Bukti:
Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total sebagai
yang menurut persamaan 2.2 menjadi: =
��� 2.4
Jika � didiferensiasikan terhadap � dan �, akan diperoleh:
�� ��
=
� ��
� �
=
1 �
,
�� ��
=
� ��
� �
=
−� �
2
2.5 Kemudian didiferensiasikan terhadap
� dan �, sehingga akan diperoleh:
� ��
=
� ��
�� �
= �
�� � ��
= �
�� � ��
�� ��
aturan rantai =
��
′
�
1 �
= �
′
� menurut 2.5
2.6
� ��
=
� ��
[ �� � ]
= � � + �
�� � ��
aturan hasil kali =
� � + ��
′
�
�� ��
aturan rantai =
� � + ��
′
�
−� �
2
menurut 2.5 =
� � − ��
′
�. 2.7
Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan. Oleh karena itu, fungsi produksi homogen
berderajat satu adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel � dan �.
Sifat 3 Dalil Euler:
Bila = ��, � homogen secara linear, maka �
� ��
+ �
� ��
≡ Bukti:
�
� ��
+ �
� ��
= ��
′
� + � � � − ��
′
� menurut 2.6 dan 2.7
= ��
′
� + �� � − ��
′
� ; � ≡
� �
= �� � =
menurut 2.4 Hasil ini valid untuk setiap nilai
� dan �. Itu sebabnya mengapa sifat 3 dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat 3 adalah
bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa
memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas
�
� ��
+ �
� ��
≡ dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala
dari =
��, � dengan persamaan � =
� ��
�� +
� ��
�� diferensial total F, untuk setiap fungsi =
��, �. Secara ekonomi, sifat 3 berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan
terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk marjinalnya, produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input
atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni,
pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam
ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui
masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi khusus yang sungguh-sungguh berlaku. Jadi tidaklah diharuskan untuk
mempunyai fungsi produksi yang menjamin pemakaian produk untuk masing- masing keseluruhan pasangan
�, �. Selanjutnya pada kondisi persaingan tidak sempurna dalam pasar faktor produksi, pemberian balas jasa kepada faktor
produksi bisa tidak sama dengan produk marjinal, yang akibatnya dalil Euler menjadi tidak relevan untuk gambaran dalam fungsi produksi. Namun fungsi
produksi yang homogen secara linear sering kali sesuai untuk digunakan karena didukung oleh adanya berbagai sifat matematiknya.
Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Salah satu bentuk khusus fungsi produksi yang dipakai secara luas dalam analisis ekonomi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas:
= �� �
1 −
2.8 dengan
� adalah konstanta positif dan adalah pecahan positif. Versi umum dari fungsi produksi tersebut yaitu:
= �� �
2.9 dengan adalah pecahan positif lainnya yang dapat sama dengan atau tidak sama
dengan 1 − . Jika , maka faktor produksi modal mempunyai kemampuan
lebih besar daripada tenaga kerja sehingga disebut padat modal, sedangkan untuk , maka faktor produksi tenaga kerja lebih dominan daripada modal sehingga
disebut padat karya. Menurut Soekartawi 1994, returns to scale RTS perlu diketahui untuk
melihat suatu kegiatan produksi. Jika persamaan 2.9 dipakai untuk menjelaskan hal ini maka jumlah besaran elastisitas
dan kemungkinannya ada tiga
alternatif yaitu: 1. Decreasing return to scale, bila + 1. Dalam keadaan demikian dapat
diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi melebihi proporsi
penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25, maka produksi akan bertambah sebesar 15.
2. Constant return to scale, bila + = 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi akan proporsional
dengan proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25 , maka produksi akan bertambah sebesar 25.
3. Increasing return to scale, bila + 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi kurang dari proporsi
penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 10, maka produksi akan bertambah sebesar 20.
Dalam penelitian ini digunakan constant return to scale yakni + =1. Dalam keadaan seperti ini, walaupun input ditambah pada tingkatan tertentu,
maka tambahan produksi dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, kalau faktor produksi ditambah dua kali, maka:
2
= �2� 2�
= 2
+
�� � = 2
1
dengan
1
= �� � dan + =1.
Dengan demikian, bila faktor produksi � dan � ditambah � kali, maka produksi
juga akan bertambah � kali.
2.7 Model Pertumbuhan Ekonomi Satu Sektor One-Sector Growth
Model pertumbuhan satu sektor adalah model yang dikembangkan oleh Zhang 2005, berdasarkan dari model pertumbuhan satu sektor Solow. Fungsi
produksi yang diberikan adalah: � = ��, ��
2.10
dengan � adalah modal pada waktu � dan � adalah banyaknya tenaga kerja pada
waktu �.
Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah: i
�
= �, 1 ≡ � � , � ≡ ��;
ii
�
=
� ��
= �
′
� 0; iii
�
= � � − ��
′
� 0;
�
dan
�
0 atau bernilai positif maksudnya setiap kenaikan modal akan meningkatkan faktor produksi.
iv Teorema Euler: �
�
+ �
�
= Tujuan produksi adalah memaksimumkan keuntungan yaitu:
� � = � � � − � � � � − � ��, dengan pt harga produksi, rt suku bunga, dan zt upah buruh.
Pada sistem ini, tingkat suku bunga � dan tingkat upah ditentukan oleh
pasar, diasumsikan harga produksi � � = 1 dan dianggap bahwa � dan � adalah
variabel bebas, maka diperoleh hasil sebagai berikut: � =
�
= �
′
� ; =
�
= � � − ��
′
�. 2.11
bukti: lihat Lampiran 1. Berdasarkan sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen
secara linear dan persamaan 2.11, maka fungsi produksi dapat dinyatakan sebagai:
= �
�
+ �
�
= �� + �.
2.12 Pendapatan bersih
� merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian, yaitu modal dan tenaga kerja yang dinyatakan dengan:
�� = ���� + ���. 2.13
Berdasarkan persamaan 2.12, maka � � = �.
