Perumusan Model dan Fungsi Produksi

dengan � adalah kecenderungan untuk mengonsumsi barang-barang dan � adalah kecenderungan untuk menambah kekayaan. Solusi dari optimasi fungsi utilitas pada persamaan 3.9 dengan kendala pembiayaan pada persamaan 3.8 adalah tunggal, yaitu: � � = �� � � , � � = �� � �. 3.10 bukti: lihat Lampiran 4 Menurut definisi, akumulasi modal � dinyatakan dengan: � � = � � − ��. 3.11 Dari persamaan 3.4, 3.5, dan 3.11, maka fungsi produksi dinyatakan: � = � � + � � � � + � � 3.12 bukti: lihat Lampiran 5. Terlihat bahwa nilai output produksi digunakan untuk konsumsi ��, membayar depresiasi kapital � � � � , dan menambah modal � � . Dari persamaan 3.4, 3.7, 3.10 dan 3.12 didapatkan laju pertumbuhan modal yang dianggap merupakan persamaan dari model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang sebagai berikut: � = � � − � � � − �� . 3.13 bukti: lihat Lampiran 6. Model dari 3.13 menunjukkan bahwa akumulasi modal bergantung pada pendapatan, modal awal dan laju peredaran uang. Modal awal biasanya cenderung sama atau tetap dan depresiasi kapital cenderung turun. Jadi semakin banyak pendapatan dan laju peredaran uang semakin kecil, maka akumulasi modal semakin banyak atau sebaliknya. Stok uang bergantung pada laju peredaran uang, serta semakin banyak uang yang beredar maka stok uang juga akan bertambah banyak dengan asumsi tingkat harga tetap. Dari model 3.13, laju pertumbuhan modal selanjutnya dibuat dalam per kapita, karena fungsi masih mengandung variabel � banyaknya tenaga kerja. Padahal angkatan tenaga kerja setiap waktu berbeda. Persamaan 3.3 disubstitusikan ke persamaan 3.4, maka pendapatan bersih per kapita y adalah sebagai berikut: � = �� �� = � � � � � � + � � � � � = � �� = ��, � = � � � � + � = ��, � = � −1 � + � = � = � � . 3.14 Dari persamaan 3.13 dan 3.14, maka laju pertumbuhan modal dari model 3.13 dalam per kapita sebagai berikut: � = � � − � � � − � dengan = � � . 3.15 Persamaan 3.15 dapat dibuat menjadi sistem persamaan diferensial taklinear yaitu: = −�� � � + � 3.16 � = �� − . 3.17 Penyelesaian analitik sistem persamaan diferensial taklinear dari persamaan 3.16 dan 3.17 tidaklah mudah, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan pendekatan secara numerik yaitu menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica .

3.3 Kondisi Ekuilibrium

Selanjutnya akan ditentukan variabel-variabel pada saat ekuilibrium, yaitu pada saat �� �� = 0 dan � �� = 0. Kondisi ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial taklinear persamaan 3.16 dan 3.17 adalah sebagai berikut: �� �� = 0 → �� − = 0 = �� 3.18 � �� = 0 → −�� � � � = 0 − �� � � = 0 Persamaan 3.18 disubstitusikan ke − �� � � = 0, �� − �� � � = 0 �� = �� � � � −1 = � � � = � � −1 . 3.19 Dari persamaan 3.18 dan 3.19, dapat ditentukan nilai-nilai variabel pada saat ekuilibrium. Apabila nilai �, , dan � � diketahui, maka nilai � dan akan diperoleh. Pembahasan selanjutnya dalam Bab IV adalah simulasi model. Dengan simulasi akan diketahui model mana yang sesuai dengan fenomena pada pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang.

BAB IV SIMULASI MODEL

Pada Bab III telah dibahas cara untuk menentukan variabel-variabel endogen di setiap titik waktu dan di saat ekuilibrium. Sedangkan pada bab ini akan dibuat simulasi modelnya melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. Variabel-variabel yang ada pada sistem dipengaruhi oleh waktu, sehingga setiap saat akan mengalami perubahan. Sebelum membahas saat kondisi ekuilibrium, terlebih dahulu dibahas perubahan variabel-variabel endogen setiap waktu. Untuk menyimulasikan model tersebut, terlebih dahulu ditentukan besaran parameter-parameter seperti dalam Tabel 1 berikut. Tabel 1 Besaran parameter-parameter dalam model Kasus � � � � 1 0.25 0.75 0.05 0.75 0.25 2 0.50 0.50 0.05 0.75 0.25 3 0.75 0.25 0.05 0.75 0.25 Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah besaran elastisitas modal dengan besaran elastisitas tenaga kerja berbeda-beda pada setiap kasus. Dalam penelitian ini yang akan diteliti ialah pengaruh dari besaran elastisitas modal. Pada kasus 1 besaran elastisitas modal rendah yaitu = 0.25, kasus 2 besaran elastisitas modal sedang yaitu = 0.50, pada kasus 3 besaran elastisitas modal tinggi yaitu = 0.75. Rasio depresiasi kapital � � sama dalam setiap kasus yaitu 0.05 atau 5, sedangkan untuk tingkat kecenderungan konsumsi � dan tingkat kecenderungan menambah kekayaan � adalah sama dari kasus per kasus yaitu 0.75 dan 0.25. Hal ini berarti tingkat kecenderungan mengonsumsi secara perorangan lebih besar daripada kecenderungan menambah kekayaan. Dalam hal membelanjakan pendapatan setiap orang memang berbeda-beda, namun rata-rata tingkat kecenderungan orang untuk konsumsi biasanya lebih besar daripada kecenderungan menambah kekayaan.