Latar Belakang Masalah PENDAHULUAN

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Berbagai aspek dalam kehidupan sehari-hari berasal dari ilmu pengetahuan. Para peneliti telah mempelajari banyak ilmu pengetahuan untuk membuktikan kebenaran yang terjadi di kehidupan sehari-hari. Ilmu matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai ciri khas yaitu tertuang dalam bahasa simbolis dan berhubungan dengan kehidupan nyata. Untuk membuktikan kebenaran yang terjadi dalam kehidupan nyata dibutuhkan konsep-konsep maupun teori-teori khusus sehingga dapat mendukung pembuktian tersebut. Bidang ilmu dalam matematika antara lain aljabar, geometri, statistika, analisis, terapan, dan lain- lain. Masalah-masalah dalam bidang astronomi, keuangan, kesehatan, ekonomi, bisnis, pertanian, peternakan dan industri dapat diselesaikan menggunakan konsep-konsep maupun teori-teori matematika. Salah satu konsep matematika yang berperan penting dalam perkembangan kehidupan yaitu persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapat membantu dalam menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari di berbagai bidang seperti dapat membantu mengukur laju pertumbuhan populasi di suatu wilayah, dapat membantu menghitung besar pergerakan dalam gerak harmonis sederhana dan pegas spiral, dapat membantu menyelesaikan persoalan-persoalan mengenai menentukan muatan pada kapasitor dan arus sebagai fungsi-fungsi dari waktu pada rangkaian listrik, dapat membantu menentukan laju perubahan terhadap waktu pada peluruhan radioaktif, serta manfaat lainnya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan suatu fungsi tidak diketahui. Persamaan diferensial ini banyak menggunakan formulasi matematika, biasanya formulasi tersebut berupa penentuan suatu fungsi yang memenuhi persamaan tertentu. Terdapat dua jenis persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas yaitu Persamaan Diferensial Biasa PDB dan Persamaan Diferensial Parsial PDP. Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan persamaan diferensial biasa. Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan parsial dinamakan persamaan diferensial parsial. Marwan dan Said Munzir, 2009 Banyak metode-metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Untuk persamaan diferensial biasa, metode yang biasa digunakan antara lain metode Euler, metode Heun, metode Deret Taylor, dan sebagainya. Untuk persamaan diferensial parsial, metode yang dapat digunakan antara lain metode karakteristik, metode separasi variabel dan metode beda hingga. Metode-metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial terbagi menjadi tiga metode berdasarkan solusinya metode numeris, metode analitis dan metode kualitatif. Solusi dari metode numerik sebagian besar berbentuk angka sedangkan metode analitik menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi yang kontinu selanjutnya fungsi tersebut dapat disubstitusikan untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Penulis memilih menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial secara analitik karena lama-kelamaan solusi pendekatan pada metode iterasi akan kontinu menuju solusi yang sebenarnya. Persamaan diferensial merupakan salah satu bidang ilmu matematika yang termasuk dalam kelompok terapan yang dapat diselesaikan secara analitik, tetapi juga dapat diselesaikan secara numerik. Tetapi untuk persamaan diferensial parsial, metode analitik sulit digunakan dalam permasalahan tersebut karena kadangkala solusi analitik kurang dapat memberikan solusi yang memadai tentang kuantitas yang dicari sehingga solusi yang lebih tepat dapat menggunakan metode numerik. Solusi dari metode analitik bersifat eksak sedangkan solusi dari metode numerik bersifat hampiran atau pendekatan. Didit Budi Nugroho, 2011 Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan metode untuk menemukan solusi pendekatan persamaan diferensial biasa dan parsial yang pendekatannya secara kontinu. Metode yang penulis gunakan untuk membahas permasalahan mengenai persamaan diferensial biasa adalah metode iterasi Picard The Method of Successive Approximations. Metode tersebut pertama kali dikenalkan oleh Emile Picard 1856-1941. Solusi yang dihasilkan dari metode iterasi Piard tidak berupa solusi umum tetapi solusi khusus dengan nilai awal yang telah diketahui sebelumnya. Metode yang penulis gunakan untuk membahas permasalahan mengenai persamaan diferensial parsial adalah metode iterasi variasional. Metode iterasi variasional pertama kali dikembangkan oleh Ji-Huan He. Langkah-langkah yang untuk mendapatkan solusi dari metode iterasi variasional ini kurang lebih hampir sama dengan metode iterasi Picard. Perbedaan diantara metode iterasi Picard dan metode iterasi variasional yaitu terdapat pengali Lagrange pada fungsi koreksi metode iterasi variasional. Metode iterasi variasional lebih efektif dan efisien untuk menemukan solusi yang diinginkan karena memiliki tingkat ketelitian yang tinggi.

B. Rumusan Masalah