Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk umum orde satu

1. Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk umum orde satu

Bagian ini akan dipaparkan tentang contoh pengali Lagrange metode iterasi variasional untuk PDB berderajat satu secara umum. Penulisan bahasan ini merupakan hasil kaji ulang dari Journal of Computational and Applied Mathematics yang berjudul Variational Iteration Method-Some Recent Results and New Intrepretations oleh Ji-Huan He 2007. Berikut ini akan dibahas contoh pengali Lagrange metode iterasi variasional untuk PDB berderajat satu secara umum dan solusi dari soal ini mengandung konsep dasar dari metode iterasi variasional yakni pengali Lagrange umum, kondisi stasioner dan variasi terbatas. Untuk masalah-masalah linear, solusi eksak dapat diperoleh hanya dengan satu langkah iterasi saja yaitu dengan membuktikan pengali Lagrange. Andaikan persamaan diferensial linear homogen orde satu yakni ′ + = , 0 = . 3.42 Dari persamaan 3.42 dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada persamaan 3.40 sehingga dapat dituliskan sebagai berikut +1 = + � , [ + − ] . 3.43 Jika persamaan 3.43 diturunkan terhadap , maka persamaan tersebut menjadi � +1 = � + � � , [ + − ] 3.44 dimana sebagai variasi terbatas dan � 0 = 0 seperti syarat pada variasi terbatas, maka persamaan 3.44 diperoleh � +1 = � + � � , [ + ] . 3.45 Persamaan 3.45 dapat ditentukan kondisi dari fungsi stasioner sebagai berikut � +1 = � + � � , [ + ] = � + � � , + � � , = � + � , � + �� , = � + � , � − � �� , � + �� , = � + � , � | = + [− �� , � + � , ]� = � + � , � | = + [− �� , � + � , ]� = [1 + � , ]� + [− �� , � + � , ]� . 3.46 Persamaan 3.46 kita peroleh persamaan Lagrange-Euler yakni − �� , � + � , = 0, 3.47 dan syarat batasnya adalah 1 + � , = 0. 3.48 Penjabaran persamaan 3.47 menjadi − �� , � + � , = 0 ↔ �� , � = � , . Masing-masing ruas dibagi dengan � , ↔ 1 � , �� , � = . Masing-masing ruas diintegralkan terhadap � 1 � ,� �� ,� �� = � � ln ⁡|� , �| = � � − � � ln � , − ln � , = � � − � � − ln � , = � � − � � ln � , = � � − � � � , = � � − � � . 3.49 Sekarang, kita substitusikan persamaan 3.49 ke persamaan 3.43, sehingga menghasilkan rumus iterasi sebagai berikut +1 = + � � − � � + − .3.50 Jika kita mulai dengan = − � � , solusi persamaan diferensial homogen ′ + = 0 dengan kondisi awal 0 = , maka 1 adalah sebagai berikut 1 = + � � − � � + − = − � � + � � − � � − = − � � − � � − � � = − � � − � � . − � � 1 = − � � − − � � � � . Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai 1 karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan metode iterasi variasional secara umum.

2. Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk khusus orde dua