Taylor dengan metode iterasi Picard. Terdapat beberapa contoh relasi untuk menghubungkan deret Taylor dan metode iterasi Picard.
1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa secara analitis
Diberikan persamaan diferensial biasa dengan nilai awal sebagai berikut: = ,
0 = 1. 3.16
Solusi menggunakan akar-akar persamaan karakteristik pada PDB linear homogen dengan koefisien konstan.
Bentuk umum +
1 −1
+ +
−1 ′
+ = 0,
3.17 dengan
,
1
, … , adalah konstan dan
≠ 0.
Persamaan karakteristik +
1 −1
+ +
−1
+ = 0,
3.18 dengan adalah variabel karakteristiknya.
Solusi
Dari persamaan 3.16 dapat ditentukan
′
= ↔
′
− = 0 maka persamaan karakteristiknya berdasarkan persamaan 3.18 adalah
− 1 = 0 = 1.
Jadi, solusi umum dari PDB tersebut adalah =
1
dengan
1
sebarang konstan.
Dari persamaan 3.17 dapat diandaikan saat nilai = 0 maka nilai
= 1. Oleh karena itu,
0 = 1 ↔ =
1
1 =
1
1 =
1
. 1
1
= 1. Jadi, solusi khusus dari PDB tersebut adalah
= .
2. Solusi suatu fungsi menggunakan konsep deret Taylor
Diberikan fungsi =
, tentukan solusi deret Taylor di sekitar titik = 0.
Solusi
Berdasarkan deret Taylor =
↔ =
′
=
′′
=
′′′
=
4
= =
maka = di sekitar titik = 0 adalah
= +
+
2 2
+
3 3
+
4 4
+ = 1 +
+
1 2
2
+
1 6
3
+
1 24
4
+
3. Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan metode iterasi Picard
Diberikan persamaan diferensial biasa dengan metode iterasi Picard saat nilai awal sebagai berikut:
= , 0 = 1.
3.19
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan �
sebagai pendekatan ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan
� memiliki nilai 1 untuk
semua x = 0, sehingga �
menjadi �
= 1 3.20
untuk semua x. Dari persamaan 3.20 dapat dimisalkan untuk semua t = 0, yaitu
� = 1.
3.21 Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan 3.19 ke persamaan
3.15 sehingga menjadi � = 1 + [�
−1
] , n 1.
3.22 Langkah ketiga adalah menggunakan persamaan 3.22 untuk menghitung
= 1, 2, 3 maka diperoleh �
1
berikut ini �
1
= 1 + [�
−1
] = 1 +
1 = 1 + [ ]
= 1 + �
1
= 1 + ,
Jadi, �
1
= 1 + . Jika parameter x pada persamaan
�
1
diubah menjadi t maka �
1
= 1 + . Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.22 untuk menghitung �
2
maka diperoleh �
2
= 1 + [�
1
] = 1 +
1 + = 1 + [ +
1 2
2
] = 1 +
+
1 2
2
�
2
= 1 + +
1 2
2
, Jadi,
�
2
= 1 + +
1 2
2
. Jika parameter x pada persamaan
�
2
diubah menjadi t maka �
2
= 1 + +
1 2
2
. Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.22 untuk menghitung �
3
maka diperoleh �
3
= 1 + [�
2
] = 1 +
1 + +
1 2
2
= 1 + [ +
1 2
2
+
1 6
3
] = 1 +
+
1 2
2
+
1 6
3
�
3
= 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
,
Jadi, �
3
= 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
. Jika parameter x pada persamaan
�
3
diubah menjadi t maka �
3
= 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
. Secara umum, solusi MNA tersebut adalah
= � = 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
+ =
atau =
� = 1 + +
1 2
2
+
1 3
3
+ +
= . 3.23
Berdasarkan persamaan 3.23, maka dapat disimpulkan bahwa barisan dari fungsi tersebut akan konvergen ke suatu fungsi yang menunjukkan solusi
dari masalah nilai awal. Solusi masalah nilai awal dapat pula disebut solusi eksak sesungguhnya. Jadi, barisan fungsi yang diperoleh dari solusi
menggunakan metode iterasi Picard tersebut sesuai cocok dengan solusi eksak sesungguhnya maka barisan fungsi akan konvergen.
E. Contoh-contoh solusi metode iterasi Picard
