dari teorema tersebut maka terlihat jelas bahwa Teorema Taylor. Perhatikan bahwa apabila
= 0, diperoleh deret Maclaurin 0 +
′
0 +
′′
2 2
+
′′
′ 0 3
3
+ …
C. Metode Iterasi Picard The Method of Successive Approximations
Setelah dipaparkan pengertian singkat persamaan diferensial biasa dan deret Taylor, maka pada bagian ini akan disajikan langkah-langkah iterasi dari
metode iterasi Picard. Metode iterasi adalah metode tidak langsung yang diawali dengan
menebak atau memberikan jawaban yang merupakan pendekatan dari jawaban yang sebenarnya. Proses selanjutnya dari metode iterasi tersebut adalah
melakukan perbaikan jawaban melalui proses iterasi secara terus-menerus hingga mendapatkan tingkat akurasi yang diinginkan. Erwin Kreyszig, 1999
Metode iterasi untuk menyelesaikan persoalan persamaan diferensial biasa atau dapat pula disebut metode iterasi Picard The Method of Successive
Approximations. Referensi untuk bagian ini diambil dari buku karangan
Shepley L. Ross 2004. Keuntungan utama metode iterasi Picard dalam penulisan ini adalah
pendekatannya secara kontinu, artinya dengan solusi � dapat dicari
pendekatan solusi eksak sebenarnya secara langsung tanpa diskretisasi numeris.
Diberikan masalah nilai awal terdiri dari persamaan diferensial berikut: = , ,
3.7 dengan kondisi awal
= .
3.8 Langkah pertama dalam menyelesaikan metode Picard ini adalah
memilih fungsi konstan �
sebagai pendekatan hampiran ke nol. Setelah memilih fungsi konstan
� , kita harus mengetahui solusi yang sebenarnya agar
memenuhi kondisi awal saat =
maka nilai =
. Jadi, masuk akal apabila kita memilih fungsi konstan
� jika diandaikan nilai
pada =
. Meskipun syarat tersebut tidak perlu, tetapi syarat tersebut dapat membantu
solusi yang lainnya. Secara khusus, syarat tersebut lebih tepat ketika kita memilih fungsi konstan
� yang memiliki nilai
untuk semua x. Kemudian, kita menentukan pendekatan pertama untuk fungsi
�
1
dengan cara berikut. Kita tentukan �
1
agar memenuhi persamaan diferensial yang diperoleh dari persamaan 3.7 dengan mengganti nilai y pada
, dengan �
dan memenuhi persamaan 3.8. Jadi, �
1
ditentukan sebagai berikut
�
1
= , � ,
3.9 dan
�
1
= .
3.10 Dipandang interval
[ ,
1
], maka kita integralkan persamaan 3.9 �
1
= , �
�
1
=
1
, �
1
�
1 1
− �
1
= , �
.
1
Jadi, �
1 1
= �
1
+ , �
1
. Jika diambil
1
adalah sembarang x maka �
1
= �
1
+ , � dan iterasinya menjadi
�
1
= +
, � .
Sekarang, kita menganggap bahwa , �
kontinu, kemudian untuk fungsi
�
1
yang memenuhi persamaan 3.9 dan 3.10 jika dan hanya jika �
1
= +
, � ,
3.11 dari persamaan 3.11 dapat ditentukan nilai dari
�
1
. Sekarang, kita tentukan
�
2
dengan cara yang sama seperti cara yang telah dijabarkan di atas. Fungsi
�
2
dapat ditentukan sebagai berikut �
2
= , �
1
, 3.12
dan �
2
= .
3.13 Kita menganggap bahwa
, �
1
berlaku terus-menerus, maka �
2
memenuhi persamaan 3.12 dan 3.13 jika dan hanya jika �
2
= +
, �
1
, 3.14
dari persamaan 3.14 dapat ditentukan �
2
.
Untuk �
3
dan �
4
dapat ditentukan pula dengan cara yang sama. Dan untuk �
ditentukan sebagai berikut � =
+ , �
−1
, 3.15
dimana �
−1
adalah pendekatan ke − 1. Kita dapat memperoleh suatu
barisan dari fungsi �
, �
1
, �
2
, … ,� . �
1
ditentukan dari persamaan 3.11, �
2
ditentukan dari persamaan 3.14 ,…, dan pada umumnya � ditentukan dari
persamaan 3.15 untuk n 1.
Terdapat keterkaitan antara barisan fungsi dengan solusi yang sebenarnya dari masalah nilai awal. Masalah tersebut dapat dibuktikan dalam kondisi
umum tertentu untuk terbatas pada interval yang cukup kecil dengan titik awal
. Saat → ∞, maka barisan fungsi � yang didefinisikan oleh � =
+ , �
−1
, untuk 1 mendekati batas fungsi
�. Batas fungsi
� memenuhi kedua persamaan yaitu persamaan 3.7 dan syarat awal 3.8 artinya adalah batas fungsi
� yang didefinisikan oleh � = lim
→∞
� sesuai cocok dengan solusi eksak sesungguhnya dari masalahan nilai awal. Selanjutnya, galat error pada hampiran pendekatan
solusi eksak � oleh hampiran ke-n yaitu � akan berubah-ubah sangat kecil
asalkan nilai n cukup besar dan nilai x cukup dekat dengan syarat awal .
D. Hubungan deret Taylor dengan metode iterasi Picard
