Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai
1
karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan metode iterasi variasional secara umum.
2. Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk khusus orde dua
Contoh yang akan dibahas berikut dikaji ulang dari International Mathematics Forum oleh Batiha B, dkk 2007 dan Buletin Ilmiah
Mathematics Statistics dan Terapannya Bimaster oleh Elvira Lusiana, dkk 2014.
Diberikan persamaan diferensial biasa non linear berikut dengan masalah nilai awal
= −
2
+ 1, 0 = 0. 3.51 Berdasarkan persamaan 3.51, fungsi koreksi dapat ditulis sebagai berikut
+1
= + � [ +
ỹ
2
− 1] ,
3.52 d
imana λ adalah pengali Lagrange dan dapat diidentifikasi secara optimal oleh teori variasional. Dengan mengambil variasi terhadap variabel
independen , dapat dilihat bahwa
�ỹ = 0. Persamaan 3.52 diturunkan terhadap
, maka �
+1
= � + � � [ +
ỹ
2
− 1]
= � + � �
+ � �
ỹ
2
−
� � =
� + � � +
� � ỹ
2
−
� �
= � + � �
+ 0
−
= � + �[� − �
′
] =
� + �� − � �
′
= 1 + � � |
=
− �
′
� . 3.53 Persamaan 3.53 dapat menghasilkan kondisi stasioner sebagai berikut
1 + � |
=
= 0 ↔ � = −1, 3.54a
�
′
|
=
= 0. 3.54b Dari persamaan 3.54a terlihat bahwa pengali Lagrange
� = −1 sehingga kita substitusi persamaan 3.54a ke persamaan 3.52 menjadi
+1
= − [ +
2
− 1] .
3.55 Bagian operator linear dari persamaan 3.55 adalah
= 1 dan diperoleh solusi linearnya adalah
= + . Kita substitusikan 0 = 0 ke dalam = + dan diperoleh = 0 sehingga perkiraan awal
sebagai berikut
= . Untuk menghitung
= 1,2 maka menggunakan rumus iterasi variasional 3.55 sebagai berikut
1
= − [
+
2
− 1]
= − [
1 +
2
− 1]
= − [
2
]
= − [
1 3
3
]
= −
1 3
3
−
1 3
3
= −
1 3
3
1
= −
1 3
3
,
2
=
1
− [
1
+
1 2
− 1]
= −
1 3
3
− [ 1
−
2
+
2
−
2 3
4
+
1 9
6
− 1]
= −
1 3
3
− [
−
2 3
4
+
1 9
6
]
= −
1 3
3
− [
−
2 15
5
+
1 63
7
]
= −
1 3
3
− {
−
2 15
5
+
1 63
7
− [−
2 15
5
+
1 63
7
]}
= −
1 3
3
+
2 15
5
−
1 63
7
2
= −
1 3
3
+
2 15
5
−
1 63
7
.
Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai
2
saja karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan salah satu contoh penggunaan metode iterasi variasional untuk PDB.
G. Contoh pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB
