Pengali Lagrange Umum Metode Iterasi Variasional

1. Pengali Lagrange Umum

Pembahasan teori tentang pengali Lagrange telah dipaparkan sebelumnya pada Bab II. Pada bahasan ini, kita akan memahami konsep dari pengali Lagrange umum yang digunakan untuk membentuk suatu fungsi koreksi pada persamaan nonlinear berikut dan dilambangkan dengan notasi lamda λ. Kita menganggap persamaan aljabar sebagai berikut: = 0, ∈ �. 4.4 Jika � merupakan suatu akar pendekatan dari persamaan di atas, maka persamaan 4.4 menjadi � ≠ 0. 4.5 Untuk meningkatkan tingkat ketelitian, kita dapat menentukan persamaan koreksi dari persamaan 4.5 menjadi �+1 = � + � � , 4.6 dimana � adalah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan menggunakan � +1 � = 0. 4.7 Dalam hal ini, � � adalah suku koreksi. Sekarang, kita turunkan persamaan 4.6 terhadap � , sehingga diperoleh � +1 � = 1 + � ′ � . 4.8 Substitusikan persamaan 4.7 ke dalam persamaan 4.8 menjadi � = − 1 ′ � . 4.9 Substitusikan persamaan 4.9 ke dalam persamaan 4.6 menghasilkan �+1 = � − � ′ � . 4.10 Persamaan 4.10 merupakan bentuk dari metode iterasi Newton-Raphson. Terdapat pendekatan secara alternatif untuk membentuk persamaan koreksi yaitu dengan menambahkan sembarang fungsi koreksi yang lain untuk � yaitu � pada persamaan 4.6 menjadi �+1 = � + � � � , 4.11 dimana adalah fungsi tambahan. Sekarang, kita turunkan persamaan 4.11 terhadap � menjadi � +1 � = 1 + � � ′ � + ′ � � . 4.12 Substitusikan persamaan 4.7 ke persamaan 4.12 menjadi � = − 1 � ′ � + ′ � � . 4.13 Setelah diidentifikasi pengalinya, maka substitusikan persamaan 4.13 ke persamaan 4.11 menjadi rumus umum iterasi sebagai berikut �+1 = � − � � � ′ � + ′ � � . 4.14 Nilai dari fungsi tambahan ≠ 0 atau nilai terkecil dari semua langkah iterasi, � 1, jika kita memilih � = − � , maka turunan dari � adalah ′ � = − − � . Selanjutnya, substitusikan nilai � ke persamaan 4.14 menjadi �+1 = � − � ′ � − � . 4.15 Persamaan 4.15 adalah rumus iterasi yang sangat efektif saat ′ � bernilai kecil dan persamaan di atas merupakan metode iterasi bertipe Newton-Raphson. Misalkan, kita anggap persamaan sin = 0. 4.16 Jika kita mulai dengan iterasi ke nol yaitu = 1,6, maka iterasi Newton tidak benar untuk cos 1,6 karena nilai tersebut kecil. Tabel 4.1 menunjukkan langkah-langkah iterasi, solusi terdekat dari = 1,6 adalah = �. Tabel 4.1. Langkah-langkah iterasi pendekatan solusi. Iterasi ke- = 1 = 2 = 0,97 1,6 1,6 1,6 1 2,57 2,09 2,60 2 2,96 2,48 2,98 3 3,12 2,78 3,12 4 3,14 2,99 3,14 Jika persamaan 4.4 diganti oleh persamaan diferensial, maka suatu fungsi koreksi sama dengan persamaan 4.6 sehingga hasilnya dapat ditentukan.

2. Kondisi Stasioner