Perulangan seperti ini, yaitu kita kembali mempergunakan integral parsial akan sering kita temukan dalam soal-soal yang lain. Sebagai contoh, jika
3
sin kita cari, proses pengintegralan akan berlangsung tiga kali.
F. Metode Lagrange
Setelah membahas tentang turunan parsial dan integral parsial, akan dibahas pula mengenai metode Lagrange karena syarat tersebut terpenuhi di
dalam Metode Iterasi Variasional. Pada bahasan mengenai metode Lagrange ini, referensi utama di ambil dari buku karangan Edwin J Purcell dan Dale
Vanberg 1987.
Teorema 2.6 Metode Lagrange. Untuk memaksimumkan atau meminimumkan
� terhadap kendala � = 0, selesaikan sistem persamaan ∇ � = ∇ � dan � = 0.
untuk p dan λ. Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk
masalah nila i ekstrem terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali
Lagrange.
Contoh 2.11
Tentukan minimum
, , = 3 + 2 + + 5, terhadap kendala , , = 9
2
+ 4
2
− = 0.
Solusi
Gradien f dan g adalah ∇ , , = 3 + 2 + dan ∇ , , = 18 +
8
− . Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan persamaan-
persamaan ∇ , , = ∇ , , dan , , = 0
untuk , , , dengan λ pengali Lagrange. Ini setara, dalam soal ini, dengan
memecahkan sistem empat persamaan simultan berikut dalam empat peubah x, y, z,
dan λ. 2.27
3 = 18 2.28
2 = 8 2.29
1 = −
2.30 9
2
+ 4
2
− = 0.
Dari 2.29, =
−1. Dengan mensubstitusikan hasil ini ke dalam 2.27 dan 2.28, kita dapatkan
= −
1 6
dan =
−
1 4
. Dengan memasukkan nilai-nilai ini untuk x dan y dalam persamaan 2.30, kita peroleh
=
1 2
. Jadi solusi sistem empat persamaan simultan tersebut adalah
−
1 6
, −
1 4
,
1 2
, −1, dan satu-satunya
titik kritis adalah −
1 6
, −
1 4
,
1 2
. Maka minimum , , terhadap kendala
, , = 0 adalah −
1 6
, −
1 4
,
1 2
= 4
1 2
. Bilamana ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada peubah-
peubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan satu untuk setiap kendala.
Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua kendala
, , = 0 dan , , = 0, kita pecahkan persamaan- persamaan.
∇ , , = ∇ , , + ∇ , , , , , = 0, , , = 0
untuk x, y, z, λ, dan , dengan λ dan adalah pengali-pengali Lagrange. Ini
setara terhadap pencarian solusi sistem lima persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z
, λ, dan . 2.31
, , = , , +
, , , 2.32
, , = , , +
, , , 2.33
, , = , , +
, , , 2.34
, , = 0, 2.35
, , = 0. Dari solusi sistem ini kita peroleh titik-titik kritis.
G. Metode Newton-Raphson
