Jadi, �
3
= 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
. Jika parameter x pada persamaan
�
3
diubah menjadi t maka �
3
= 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
. Secara umum, solusi MNA tersebut adalah
= � = 1 + +
1 2
2
+
1 6
3
+ =
atau =
� = 1 + +
1 2
2
+
1 3
3
+ +
= . 3.23
Berdasarkan persamaan 3.23, maka dapat disimpulkan bahwa barisan dari fungsi tersebut akan konvergen ke suatu fungsi yang menunjukkan solusi
dari masalah nilai awal. Solusi masalah nilai awal dapat pula disebut solusi eksak sesungguhnya. Jadi, barisan fungsi yang diperoleh dari solusi
menggunakan metode iterasi Picard tersebut sesuai cocok dengan solusi eksak sesungguhnya maka barisan fungsi akan konvergen.
E. Contoh-contoh solusi metode iterasi Picard
Bagian ini memberikan contoh-contoh masalah nilai awal yang diselesaikan dengan metode iterasi Picard serta langkah-langkah dalam
mendapatkan solusi metode iterasi Picard. Referensi utama yang dipakai pada bagian ini adalah dari buku karangan Shepley L. Ross 2004.
Contoh 3.1
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi �
1
, �
2
, �
3
dari masalah nilai awal berikut
=
2
+
2
, 3.24
0 = 1. 3.25
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan �
sebagai pendekatan ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan
� memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga �
menjadi �
= 1 3.26
untuk semua x. Dari persamaan 3.26 dapat dimisalkan untuk semua t = 0, yaitu
� = 1.
3.27 Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan 3.24 ke persamaan
3.15 sehingga menjadi � = 1 + {
2
+ [ �
−1
]
2
} , n 1.
3.28 Langkah ketiga adalah menggunakan persamaan 3.28 untuk
menghitung = 1, 2, 3 maka diperoleh
�
1
berikut ini �
1
= 1 + {
2
+ [ �
]
2
} = 1 +
2
+ 1 = 1 + [
1 3
3
+ ] = 1 +
1 3
3
+ �
1
= 1 + +
1 3
3
, Jadi,
�
1
= 1 + +
1 3
3
.
Jika parameter x pada persamaan �
1
diubah menjadi t maka �
1
= 1 + +
1 3
3
. Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.28 untuk menghitung �
2
maka diperoleh
�
2
= 1 + {
2
+ [ �
1
]
2
} = 1 +
[
2
+ 1 + +
3
3 2
] = 1 +
1 + 2 +
2
+
2
3
3
+
2
4
3
+
6
9
= 1 + [ +
2
+
3
3
+
4
6
+
2
5
15
+
7
63
] �
2
= 1 + +
2
+
3
3
+
4
6
+
2
5
15
+
7
63
, Jadi,
�
2
= 1 + +
2
+
3
3
+
4
6
+
2
5
15
+
7
63
. Jika parameter x pada persamaan
�
2
diubah menjadi t maka �
2
= 1 + +
2
+
3
3
+
4
6
+
2
5
15
+
7
63
. Langkah kelima memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga dan
keempat yakni menggunakan persamaan 3.28 untuk menghitung �
3
maka diperoleh �
3
= 1 + {
2
+ [ �
2
]
2
} = 1 +
[
2
+ 1 + +
2
+
3
3
+
4
6
+
2
5
15
+
7
63 2
] = 1 +
[1 + 2 + 4
2
+
10
3
3
+
8
4
3
+
29
5
15
+
47
6
45
+
164
7
315
+
299
8
1260
+
8
9
105
+
184
10
4725
+
11
189
+
4
12
945
+
14
3969
]
= 1 + [ +
2
+
4
3
3
+
5
4
6
+
8
5
15
+
29
6
90
+
47
7
315
+
41
8
630
+
299
9
11.340
+
4
10
525
+
184
11
51.975
+
12
2268
+
4
13
12.285
+
15
59.535
] = 1 +
+
2
+
4
3
3
+
5
4
6
+
8
5
15
+
29
6
90
+
47
7
315
+
41
8
630
+
299
9
11.340
+
4
10
525
+
184
11
51.975
+
12
2268
+
4
13
12.285
+
15
59.535
, Jadi,
�
3
= 1 + +
2
+
4
3
3
+
5
4
6
+
8
5
15
+
29
6
90
+
47
7
315
+
41
8
630
+
299
9
11.340
+
4
10
525
+
184
11
51.975
+
12
2268
+
4
13
12.285
+
15
59.535
. Jika parameter x pada persamaan
�
3
diubah menjadi t maka �
3
= 1 + +
2
+
4
3
3
+
5
4
6
+
8
5
15
+
29
6
90
+
47
7
315
+
41
8
630
+
299
9
11.340
+
4
10
525
+
184
11
51.975
+
12
2268
+
4
13
12.285
+
15
59.535
. Pada contoh ini,
�
1
adalah pendekatan pertama, �
2
adalah pendekatan kedua,
�
3
adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai � , sehingga
berlaku �
∞
= lim
→∞
� .
Contoh 3.2
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi �
1
, �
2
, �
3
dari masalah nilai awal berikut =
3.29 0 = 1
3.30
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan �
sebagai pendekatan ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan
� memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga �
menjadi �
= 1 3.31
untuk semua x. Dari persamaan 3.31 dapat dimisalkan untuk semua t = 0, yaitu
� = 1.
3.32 Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan 3.29 ke persamaan
3.15 sehingga menjadi � = 1 + { [�
−1
]} , n 1.
3.33 Langkah ketiga adalah menggunakan persamaan 3.33 untuk
menghitung = 1, 2, 3 maka diperoleh
�
1
berikut ini �
1
= 1 + { [� ]}
= 1 + . 1
= 1 + = 1 + [
1 2
2
] = 1 +
1 2
2
�
1
= 1 +
1 2
2
, Jadi,
�
1
= 1 +
1 2
2
. Jika parameter x pada persamaan
�
1
diubah menjadi t maka
�
1
= 1 +
1 2
2
. Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.33 untuk menghitung �
2
maka diperoleh
�
2
= 1 + { [�
1
]} = 1 +
[ 1 +
1 2
2
] = 1 +
+
1 2
3
= 1 + [
1 2
2
+
1 8
4
] �
2
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
, Jadi,
�
2
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
. Jika parameter x pada persamaan
�
2
diubah menjadi t maka �
2
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
. Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.33 untuk menghitung �
3
maka diperoleh
�
3
= 1 + { [�
2
]} = 1 +
[ 1 +
1 2
2
+
1 8
4
] = 1 +
+
1 2
3
+
1 8
5
= 1 + [
1 2
2
+
1 8
4
+
1 48
6
] �
3
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
+
1 48
6
,
Jadi, �
3
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
+
1 48
6
. Jika parameter x pada persamaan
�
3
diubah menjadi t maka �
3
= 1 +
1 2
2
+
1 8
4
+
1 48
6
. Pada contoh ini,
�
1
adalah pendekatan pertama, �
2
adalah pendekatan kedua,
�
3
adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai � , sehingga
berlaku �
∞
= lim
→∞
� .
Contoh 3.3
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi �
1
, �
2
, �
3
dari masalah nilai awal berikut = 1 +
2
, 3.34
0 = 0. 3.35
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan �
sebagai pendekatan ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan
� memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga �
menjadi �
= 0 3.36
untuk semua x. Dari persamaan 3.36 dapat dimisalkan untuk semua t = 0, yaitu
� = 0.
3.37
Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan 3.34 ke persamaan 3.15 sehingga menjadi
� = 0 + {1 + [�
−1
]
2
} , n 1.
3.38 Langkah ketiga adalah menggunakan persamaan 3.38 untuk
menghitung = 1, 2, 3 maka diperoleh
�
1
berikut ini �
1
= 0 + {1 + [� ]
2
} = 0 +
[1 + . 0 ] = 0 +
1 = 0 + [ ]
= �
1
= , Jadi,
�
1
= . Jika parameter x pada persamaan
�
1
diubah menjadi t maka �
1
= . Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.38 untuk menghitung �
2
maka diperoleh
�
2
= 0 + {1 + [�
1
]
2
} = 0 +
[1 +
2
] = 0 +
1 +
3
= 0 + [ +
1 4
4
]
= 0 + +
1 4
4
= +
1 4
4
�
2
= +
1 4
4
, Jadi,
�
2
= +
1 4
4
. Jika parameter x pada persamaan
�
2
diubah menjadi t maka �
2
= +
1 4
4
. Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan 3.38 untuk menghitung �
3
maka diperoleh
�
3
= 0 + {1 + [�
2
]
2
} = 0 +
[1 + +
1 4
4 2
] = 0 +
1 +
3
+
2 4
6
+
1 16
9
= 0 + [ +
1 4
4
+
2 28
7
+
1 160
10
] = 0 +
+
1 4
4
+
2 28
7
+
1 160
10
�
3
= +
1 4
4
+
2 28
7
+
1 160
10
, Jadi,
�
3
= +
1 4
4
+
2 28
7
+
1 160
10
. Jika parameter x pada persamaan
�
3
diubah menjadi t maka �
3
= +
1 4
4
+
2 28
7
+
1 160
10
.
Pada contoh ini, �
1
adalah pendekatan pertama, �
2
adalah pendekatan kedua,
�
3
adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai � , sehingga
berlaku �
∞
= lim
→∞
� .
F. Metode Iterasi Variasional untuk Persamaan Diferensial Biasa
