Contoh 2.5 Telah diketahui bahwa y =
3
merupakan suatu solusi persamaan diferensial
2 2
− = 6 −
3
2.24 sehingga
=
3
adalah integral khusus persamaan 2.24. Solusi umum persamaan homogen yang berkorespondensi dengan 2.24 adalah
=
1
+
2 −
dengan
1
dan
2
sebarang konstanta. Karena itu solusi umum persamaan diferensial 2.24 adalah
=
1
+
2 −
+
3
dengan
1
dan
2
sebarang konstanta.
2. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Partial Differential Equation, disingkat PDP, adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan lebih
dari satu variabel bebas. Persamaan diferensial dapat pula diartikan sebagai persamaan diferensial biasa kecuali keadaannya diperjelas bahwa yang
dimaksud adalah persamaan diferensial parsial. Persamaan 2.3 dan 2.4 termasuk ke dalam contoh-contoh Persamaan Diferensial Parsial PDP.
Pada persamaan 2.3 variabel
dan
adalah variabel bebas dan variabel adalah variabel tak bebas tergantung. Pada persamaan 2.4 terdapat
variabel bebas yaitu variabel
, , dan ,
sedangkan variabel adalah
variabel tak bebas. Shepley L Ross, 2004 Suatu persamaan diferensial dikatakan linear jika tidak ada perkalian
antara variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya. Dengan kata
lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. Suatu persamaan diferensial yang tidak linear dalam beberapa variabel tak bebas
dikatakan tidak linear dalam variabel tersebut. Suatu persamaan diferensial yang tidak linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara
sederhana dikatakan tak linear. Didit Budi Nugroho, 2011
3. Solusi khusus dan solusi umum
Solusi adalah sebuah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Sebuah fungsi
= yang terdefinisi atas domain dari fungsi disebut solusi untuk persamaan diferensial jika untuk sembarang nilai dari variabel
bebas yang diijinkan, identitas persamaan dapat dipenuhi ketika nilai-nilai yang bersesuaian untuk
= dan derivatif-derivatifnya disubstitusikan ke dalam persamaannya. Jika mengenakan syarat awal atau syarat batas
maka akan diperoleh solusi khusus, artinya konstanta sembarang yang termuat dalam solusi umum akan mempunyai nilai tertentu.
Dari sini, dapat dibedakan antara solusi umum dan solusi khusus. Solusi umum untuk persamaan diferensial biasa orde ke-n adalah sebuah
solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain dari fungsi . Solusi umum ini
memuat suatu suku konstanta sembarang n, sedangkan solusi khusus adalah solusi yang tidak memuat konstanta sembarang. Dari beberapa kasus
terdapat solusi lain dari persamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada
sembarang konstanta dari solusi umum, solusi yang demikian dinamakan solusi singular dari persamaan tersebut. Kartono, 2012
4. Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Batas
