1. Konsep Dasar Metode Newton
Andaikan kita mencoba untuk menemukan akar dari persamaan aljabar
sebagai berikut = 0 3.56
dimana adalah suatu fungsi dari variabel x yang memiliki turunan di
sekitar . Kita tuliskan pernyataan perkiraan di bawah ini
= − � , 3.57
dimana λ yang akan kita tentukan nanti. Andaikan diketahui suatu pendekatan akar dari x yang berbeda dari
dengan jumlah yang kecil, kita misalkan
= +
� atau − =
� . Kemudian ≠ 0 dari definisi, dan bentuk kedua
−� pada persamaan 3.57 menggambarkan suatu koreksi untuk x maka
tertutup untuk . Sekarang kita ingin memilih
λ agar suatu koreksi tersebut optimal. Untuk menemukan maksud dari tujuan, maka kita substitusikan
= +
� ke persamaan 3.57 sehingga diperoleh
= +
� − � =
+ � − �[
+
′
� + �
2
] =
+ � − �[
+
′
� ] + � �
2
= +
� − �[ +
′
� ] + �
2
= +
� − � − �
′
� + �
2
= − �
+ [1 − �
′
]� + �
2
= + [1
− �
′
]� + �
2
3.58 Dari persamaan 3.58 kita memilih
1 − �
′
� = 0 1
− �
′
= 0 atau � = 0 1
− �
′
= 0 memenuhi atau � = 0 tidak memenuhi 1 =
�
′
� = 1
′
� =
′ −1
3.59 Kita memilih persamaan 3.59 agar optimal. Sungguh-sungguh optimal
nilai λ untuk dihitung karena solusinya eksak dari akar . Saat nilai
λ sebagai suatu pengali Lagrange untuk
memiliki nilai kecil dari � maka kita hanya perlu suatu pendekatan λ. Sekarang kita dapat mengganti
persamaan 3.59 ke persamaan 3.57 tanpa menyebabkan kesalahan pada �
2
, sehingga diperoleh perkiraan variasional sebagai berikut =
−
′ −1
= −
′ −1
3.60 Persamaan 3.60 adalah metode Newton.
2. Konsep Dasar Metode Iterasi Variasional untuk PDB
Kita akan menggunakan contoh yang sederhana untuk mengilustrasikan ide pokok dari metode iterasi variasional yang didefinisikan sebagai berikut
′
+
2
= 0, 0 atau
+
2
= 0, 0 3.61
0 = 1 atau = 1. 3.62
Jika 0 = 1 adalah suatu perkiraan awal atau fungsi percobaan, maka kita
dapat tuliskan pernyataan koreksi di bawah ini
+1
= + � � [
′
� +
2
� ] � 3.63 dimana bentuk persamaan 3.63 disebut koreksional dan
� adalah suatu pengali Lagrange. Fungsi pada persamaan 3.63 adalah fungsi koreksi dan
pengali Lagrange pada fungsi tersebut akan dipilih untuk menyelesaikan fungsi koreksi secara unggul untuk perkiraan awal fungsi percobaan.
Bentuk kedua dari persamaan 3.63 adalah bentuk integral. Dengan kata lain, kita menganggap persamaan 3.61 dan 3.62 mempunyai kondisi
� yang memenuhi setiap titik pada interval 0 1. Jika kita
sisipkan suatu fungsi percobaan � =
� + � � dengan 0 = 1 maka
� 0 = 0, kita memiliki � =
� + � � 3.64 =
+ � 3.65
′
� = ′ � + [� � ]
′
3.66 [
� ]
2
= [ � + � � ]
2
= [ � ]
2
+ 2 � � � + [� � ]
2
, 3.67 Persamaan 3.65, 3.66, dan 3.67 disubstitusikan ke persamaan 3.63
menjadi
+1
= + � � [
′
� +
2
� ] � =
+ � + � � { ′ � + [� � ]
′
+ [ � ]
2
+ 2. � � � + � � ]
2
� =
+ � + � � { ′ � + [
� ]
2
} � + � �
.
[ � � ]
′
� + 2� � � � � � +
� � [
� � ]
2
� =
+ � + 0 + � � [
� � ]
′
� + 2 � � [
� − � �]� � � + � �
[ � � ]
2
� =
+ � + � � [
� � ]
′
� + 2 � � � � �
� − 2 � � [
� � ]
2
� + � � [
� � ]
2
� =
+ � + � � [
� � ]
′
� + 2 � � � � �
� − � � [
� � ]
2
� =
+ � + � � [
� � ]
′
� + 2 � � � � � �
− �
2
= + � + {[� � � � ]
− �
′
� � � �} + 2.
� � � � � � − �
2
= + � + {� � − � 0 � 0 − [ �
′
� � � �]}
2 � �
� � � � − �
2
= + � + � � − [ �
′
� � � � + 2� �
. � � � � − �
2
= + [1 + � ]� − [�
′
� + 2� � � ] � � �
− �
2
. 3.68 Kemudian, kita melihat
� � optimal jika diperoleh kondisi stasioner dari persamaan 3.68 sebagai berikut
−�
′
� + 2� � � = 0 ↔ �
′
� = 2� � � , 3.69 1 +
� � |
�=
= 0 ↔ � = −1. 3.69
atau kemungkinan lain dari persamaan 3.69a dan 3.69b sebagai berikut �
′
� = 2� � � masing-masing ruas dibagi dengan � � sehingga menjadi
�
′
� � �
= 2 � . 3.70
Kita integralkan persamaan 3.70 terhadap �.
�
′
� � �
�
� = 2 �
�
� [ln
� � ]
�
= 2 � �
�
ln � � − ln � = 2
� �
�
ln � � − ln−1 = 2
� �
�
ln � � + ln1 = 2
� �
�
ln � � = 2
� �
�
| � � | = |
2 � �
�
| � � =
2 � �
�
atau � � = −
2 � �
�
. Pengali Lagrange yang dipilih adalah
� � = −
2 � �
�
3.71 karena memenuhi persamaan 3.69a dan 3.69b.
Substitusi persamaan 3.71 ke persamaan 3.63 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut
+1
= −
2 � �
�
[
′
� +
2
� ] �. 3.72 Sekarang, kita menghitung nilai
= 1,2,3, … dengan menggunakan
persamaan 3.72
untuk = 1, maka
1
= −
2 � �
�
[
′
� +
2
� ] � = 1
−
2 �− �
[ 0 + 1]
� = 1
−
2 �− �
� = 1
− [
1 2
2 �−
] = 1
− [
1 2
−
1 2
2 −
] = 1
− [
1 2
−
1 2
−2
] = 1
−
1 2
+
1 2
−2
=
1 2
+
1 2
−2
1
=
1 2
+
1 2
−2
atau
1 2
1 +
−2
. Untuk
= 2, maka
2
=
1
−
2 � �
�
[
1 ′
� +
1 2
� ] � =
1 2
1 +
−2
−
2 � �
�
{ −
−2�
+ [
1 4
+
2 4
−2�
+
1 4
−4�
]} �
=
1 2
1 +
−2
−
2 �−
[
1 4
−
1 2
−2�
+
1 4
−4�
] �
=
1 2
1 +
−2
− [
1 4
2 �−
−
1 2
−2
+
1 4
−2�−
] �
=
1 2
1 +
−2
− [
1 4
.
1 2
2 �−
−
1 2
�
−2
+
1 4
−
1 2
−2�−
] =
1 2
1 +
−2
− [
1 8
2 �−
−
1 2
�
−2
−
1 8
−2�−
] =
1 2
1 +
−2
− {[
1 8
−
1 2
−2
−
1 8
−2 2
] − [
1 8
−2
+
1 8
−2
]} =
1 2
1 +
−2
− [
1 8
−
1 2
−2
−
1 8
−4
]
=
1 2
1 +
−2
−
1 8
+
1 2
−2
+
1 8
−4
2
=
1 2
1 +
−2
+
1 2
−2
−
1 8
1 −
−4
. Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai
2
saja karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan contoh penggunaan pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB.
80
BAB IV METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Pada bab ini akan dibahas pengertian penjelasan secara lebih terurai dan lebih lengkap Persamaan Diferensial Parsial PDP dengan syarat awal dan syarat
batas karena pada bab sebelumnya telah dibahas secara singkat pengertian ini. Selanjutnya, akan dibahas metode iterasi variasional beserta konsep dasar yaitu
pengali Lagrange, variasi terbatas dan kondisi stasioner. Kemudian yang terakhir
akan dibahas contoh-contoh solusi metode iterasi variasional.
A. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial PD adalah persamaan yang memuat turunan- turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel
bebas. Jika suatu persamaan diferensial memuat turunan parsial memuat lebih dari satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan
Persamaan Diferensial Parsial PDP. Lina Aryati, 2011 1.
Syarat Awal dan Syarat Batas
Syarat awal adalah suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada awal waktu tertentu. Masalah syarat awal adalah masalah yang terdiri dari
suatu PD yang dilengkapi syarat awal. Solusi masalah syarat awal adalah
Kategori