Persamaan Diferensial Linear Persamaan Diferensial Biasa

1. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Ordinary Differential Equation, disingkat PDB, adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan satu variabel bebas. Contoh-contoh persamaan diferensial 2.1, 2.2, 2.3, dan 2.4 terdiri dari bermacam-macam variabel dan melibatkan derivatif- derivatifnya maka yang termasuk ke dalam Persamaan Diferensial Biasa PDB adalah persamaan 2.1 dan 2.2. Pada persamaan 2.1 varibel adalah variabel tunggal yang bebas dan variabel adalah variabel tak bebas tergantung. Pada persamaan 2.2 terdapat variabel bebas yaitu variabel , sedangkan variabel adalah variabel tak bebas. Shepley L Ross , 2004 Setelah dibahas mengenai persamaan diferensial biasa, maka terdapat klasifikasi persamaan diferensial linear. Referensi diambil dari buku karangan Shepley L Ross 2004 dan diktat Lina Aryati, dkk 2013.

a. Persamaan Diferensial Linear

Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang semua sukunya linear terhadap fungsi maupun derivatifnya. Persamaan diferensial tidak memuat bentuk nonlinear dari fungsi maupun derivatifnya. Ciri-ciri persamaan diferensial linear yakni tidak ada perkalian y dengan derivatif-derivatifnya, tidak ada perkalian derivatif dengan derivatif, tidak ada suku yang merupakan bentuk nonlinear dari y atau derivatifnya. Bentuk nonlinear memuat perpangkatan fungsi tak bebas, perkalian fungsi tak bebas dan derivatifnya serta perpangkatan derivatifnya. Contoh persamaan diferensial linear sebagai berikut 2 2 + 2 2 2 + 5 = 0. Contoh persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut 3 3 + + = 1. Persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas y dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk + = . 2.5 Diberikan persamaan sebagai berikut + + 1 = 3 , adalah persamaan diferensial linear orde satu, dapat ditulis menjadi + 1 + 1 = 2 , dimana bentuk 2.5 = 1 + 1 dan = 2 . Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk diferensial menjadi − + = 0. 2.6 Persamaan 2.6 berasal dari bentuk , + , = 0, dimana , = − dan , = 1. Maka � , � = ≠ 0 = � , � . Persamaan 2.6 bukan persamaan persamaan diferensial eksak kecuali kalau = 0, dimana persamaan 2.5 adalah persamaan diferensial separabel sederhana. Persamaan 2.6 hanya memuat variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya bergantung pada x saja. Persamaan 2.6 dikalikan dengan menjadi − + = 0. 2.7 Berdasarkan definisi, adalah faktor integral dari persamaan 2.7 jika dan hanya jika persamaan 2.7 adalah eksak sehingga diperoleh � � − = � � . Kondisi tersebut diturunkan, sehingga menjadi = . 2.8 Pada persamaan 2.8, P adalah suatu fungsi yang diketahui variabel bebas x, tetapi adalah suatu fungsi yang tidak diketahui berasal dari x dan akan kita tentukan. Kemudian, kita tuliskan persamaan diferensial 2.8 menjadi bentuk seperti berikut = , 2.9 dimana variabel terikatnya adalah dan variabel bebasnya adalah x. P adalah suatu fungsi yang diketahui dari x. Persamaan 2.9 merupakan persamaan diferensial separabel, variabel dipisahkan menjadi berikut = . 2.10 Kemudian persamaan 2.10 diintegralkan sehingga diperoleh solusi khusus = atau = , 0. 2.11 Persamaan diferensial linear 2.5 memiliki faktor integral dari persamaan 2.11. Sekarang, kita mengalikan persamaan 2.5 dengan persamaan 2.11 + = , 2.12 dengan menggunakan integral parsial maka diperoleh = . 2.13 Sekarang kita integralkan bentuk di atas menjadi = + . 2.14 Persamaan 2.14 adalah solusi dari persamaan diferensial linear 2.5 dimana c adalah suatu konstanta yang nilainya dapat berubah-ubah. Dari uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut Teorema 2.1 Diberikan persamaan diferensial linear berikut + = mempunyai bentuk faktor integral . Solusi umum persamaan diferensialnya − = . Contoh 2.4 Diberikan persamaan diferensial berikut + 2 +1 = −2 . 2.15 Persamaan diferensial tersebut adalah linear dengan = 2 +1 = 2 + 1 dan = −2 . Faktor pengintegralan dari persamaan diferensial linear 2.15 adalah = = 2+ 1 = 2 + = 2 . = 2 . 2.16 Sekarang kita mengalikan persamaan diferensial linear 2.15 dengan bentuk 2.16 menjadi 2 + 2 +1 2 = −2 2 2 + 2 + 1 2 = [ 2 ] = 2 = 1 2 2 + = 1 2 2 2 + 2 = 1 2 −2 + −2 dimana c adalah suatu konstanta yang nilainya dapat berubah-ubah. Setelah dibahas mengenai persamaan diferensial linear, maka terdapat klasifikasi persamaan diferensial linear homogen maupun linear nonhomogen. Referensi diktat karangan Lina Aryati, dkk 2013. b. Persamaan Diferensial Linear Homogen Teorema 2.2 Jika 1 , 2 , … , merupakan m solusi dari persamaan diferensial linear homogen + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 2.17 maka kombinasi linear 1 , 2 , … , yaitu 1 1 + 2 2 + … + juga solusi persamaan diferensial 2.17. Teorema 2.3 Persamaan diferensial linear homogen order n + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = 0 2.18 selalu memiliki n solusi yang bebas linear. Selanjutnya jika 1 , 2 , … , adalah n solusi persamaan diferensial 2.18 yang bebas linear maka setiap solusi persamaan diferensial 2.18 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear 1 1 + 2 2 + … + dengan pemilihan konstanta-konstanta 1 , 2 , … , yang sesuai. c. Persamaan Diferensial Linear Nonhomogen Sebelum dibicarakan metode untuk mencari solusi umum persamaan diferensial linear nonhomogen, berikut ini diberikan dahulu pengertian solusi umum untuk persamaan diferensial linear nonhomogen, yang didahului dengan membicarakan dua teorema yang akan membawa ke pengertian solusi umum. Diberikan persamaan diferensial linear nonhomogen + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = � 2.19 dengan persamaan homogen yang berkorespondensi + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = 0. 2.20 Teorema 2.4 Jika v sebarang solusi persamaan diferensial 2.19 dan u sebarang solusi persamaan diferensial 2.20 maka + juga merupakan solusi persamaan diferensial 2.19. Contoh 2.5 Mudah diselidiki bahwa = 3 merupakan solusi persamaan diferensial 2 2 − = 6 − 3 . 2.21 Selain itu, mudah pula dilihat bahwa y = solusi persamaan homogen yang berkorespondensi dengan 2.21, 2 2 − = 0. Karena itu menurut teorema 2.2, y = + 3 juga merupakan solusi persamaan diferensial 2.21. Teorema 2.5 Diberikan suatu solusi persamaan diferensial linear nonhomogen 2.19 yang tidak memuat sebarang konstanta. Jika = 1 1 + 2 2 + … + solusi umum persamaan diferensial linear homogen 2.20 maka setiap solusi persamaan diferensial 2.19 dapat dinyatakan sebagai + untuk suatu pemilihan konstanta 1 , 2 , … , yang sesuai. Teorema 2.5 membawa ke pengertian solusi umum persamaan diferensial linear nonhomogen, yang didefinisikan sebagai berikut Definisi 2.1 Diberikan persamaan diferensial linear nonhomogen + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = � 2.22 dan persamaan diferensial linear homogen yang berkorespondensi dengan 2.22 + 1 −1 −1 + ⋯ + −1 + = 0. 2.23 1. Solusi umum persamaan diferensial 2.23 disebut fungsi komplemen persamaan diferensial 2.22, dan selanjutnya ditulis dengan . 2. Suatu solusi khusus persamaan diferensial 2.22 yang tidak memuat sebarang konstanta disebut integral khusus persamaan diferensial 2.22, dan selanjutnya akan ditulis dengan . 3. Solusi + dari persamaan 2.22 dengan integral khusus 2.22 dan fungsi komplemen 2.22 disebut solusi umum persamaan diferensial nonhomogen 2.22. Contoh 2.5 Telah diketahui bahwa y = 3 merupakan suatu solusi persamaan diferensial 2 2 − = 6 − 3 2.24 sehingga = 3 adalah integral khusus persamaan 2.24. Solusi umum persamaan homogen yang berkorespondensi dengan 2.24 adalah = 1 + 2 − dengan 1 dan 2 sebarang konstanta. Karena itu solusi umum persamaan diferensial 2.24 adalah = 1 + 2 − + 3 dengan 1 dan 2 sebarang konstanta.

2. Persamaan Diferensial Parsial