Persamaan 4.15 adalah rumus iterasi yang sangat efektif saat
′ �
bernilai kecil dan persamaan di atas merupakan metode iterasi bertipe Newton-Raphson.
Misalkan, kita anggap persamaan sin
= 0. 4.16 Jika kita mulai dengan iterasi ke nol yaitu
= 1,6, maka iterasi Newton tidak benar untuk
cos 1,6 karena nilai tersebut kecil. Tabel 4.1 menunjukkan langkah-langkah iterasi, solusi terdekat dari
= 1,6 adalah = �.
Tabel 4.1. Langkah-langkah iterasi pendekatan solusi.
Iterasi ke- = 1
= 2 = 0,97
1,6 1,6
1,6 1
2,57 2,09
2,60 2
2,96 2,48
2,98 3
3,12 2,78
3,12 4
3,14 2,99
3,14
Jika persamaan 4.4 diganti oleh persamaan diferensial, maka suatu fungsi koreksi sama dengan persamaan 4.6 sehingga hasilnya dapat ditentukan.
2. Kondisi Stasioner
Permasalahan optimisasi pada dasarnya terdapat dimana-mana. Permasalahan yang sederhana dari variasi kalkulus adalah menentukan
suatu fungsi = untuk nilai fungsi yang diberikan
� = � ,
′
; +
1
|
=
1
−
2 1
2
|
=
2
4.19
adalah maksimum atau minimum. Kondisi yang sangat ekstrim kondisi stasioner dari persamaan fungsi
4.19 membutuhkan syarat �� = 0.
Untuk � yang berubah-ubah, dari syarat �� = 0, kita mempunyai
�
−
�
′
= 0, 4.20 dengan syarat batas
�
′
1
−
1 1
= 0 dan
�
′
2
−
2 2
= 0. 4.21 Persamaan 4.20 disebut persamaan diferensial Lagrange-Euler atau
persamaan Euler dan persamaan 4.21 disebut syarat batas yang biasa.
3. Variasi Terbatas
Variasi terbatas digunakan untuk mendapatkan metode iterasi dari suatu persamaan nonlinear. Variasi terbatas
dilambangkan dengan notasi
. Nilai untuk variasi terbatas merupakan konstanta. Variasi terbatas pada metode iterasi variasional berperan penting karena untuk mendapatkan
solusi dari rumus iterasi memiliki syarat bahwa �ũ
�
= 0. Variasi terbatas pada rumus iterasi variasional dengan mudah diperoleh dari pengali
Lagrange umum dan dapat diidentifikasikan secara optimal oleh teori variasional.
Kita anggap persamaan aljabar yang sederhana sebagai berikut.
2
− 3 + 2 = 0. 4.22
~
Kita tulis kembali persamaan di atas dengan variasi terbatas menjadi .
− 3 + 2 = 0, 4.23 dimana adalah variabel terbatas. Menyelesaikan dari persamaan 4.23
diperoleh =
2 3
−
. 4.24 Jika nilai dari diasumsikan sebagai perkiraan awal, maka persamaan
4.24 dapat ditulis dalam bentuk iterasi sebagai berikut
�+1
=
2 3
−
�
, � = 0,1,2,3, … 4.25
Metode ini sering digunakan karena sangat efisien untuk memprediksi perkiraan awal yang baik dengan melihat tabel berikut ini
Tabel 4.2. Tabel prediksi perkiraan awal yang baik.
Iterasi
Persamaan 4.25 :
�+1
=
2 3
−
�
Rumus iterasi Newton 0,5
0,5 1
0,8 0,875
2 0,909
0,987 3
0,956 0,999
4 0,978
1,000 5
0,989 1,000
6 0,994
1,000 7
0,997 1,000
8 0,998
1,000 9
0,999 1,000
~ ~
~
Pada metode iterasi variasional, perkiraan awal selalu dipilih dengan parameter yang tidak diketahui kemungkinannya, iterasi pertama pada tabel
4.2 mewakili solusi tertinggi tingkat ketelitian. Kita jelaskan keefektifitas dari parameter bebas pada tabel 4.2. Pengenalan parameter bebas pada
perkiraan awal sebagai berikut: = 0,5 + , 4.26
dimana b adalah sebuah parameter yang akan disusun selanjutnya. Jika � = 0, maka persamaan 4.25 menjadi
1
=
2 3
−
. 4.27 Substitusikan persamaan 4.26 ke persamaan 4.27, sehingga diperoleh
1
=
2 3
−
=
2 3
−0,5+
=
2 2,5
−
. 4.28 Dari hasil substitusi persamaan di atas, kita menggunakan deret Taylor
untuk mendapatkan persamaan baru sebagai berikut
1
=
2 2,5
−
=
2 2,5
∙
1 1
−
1 2,5
= 0,8 1 +
1 2,5
+
2
. 4.29
Berdasarkan persamaan di atas, maka diperoleh persamaan
1
menjadi,
1
= 0,8 + 0,32 . 4.30 Kemudian, untuk mendapatkan nilai b, kita tetapkan sebagai berikut
=
1
. 4.31 Substitusikan persamaan 4.26 dan persamaan 4.30 ke persamaan 4.31
menjadi =
1
, 0,5 +
= 0,8 + 0,32 .
Dari relasi di atas, kita dapat secara langsung mengetahui nilai = 0,4412. 4.32
Substitusikan persamaan 4.32 ke persamaan 4.30 sehingga menjadi
1
= 0,8 + 0,32 = 0,8 + 0,320,4412
= 0,8 + 0,141184 = 0,941184
≈ 0,9412. Sekarang, kita menganggap bahwa variasi terbatas dapat dilihat pada sebuah
fungsi variasional. Andaikan pembagian suhu pada konveksi berbanding lurus dengan suhu yang bergantung pada konduktivitas panas, maka
penentuan persamaan menjadi sebagai berikut Penulisan di bawah ini merupakan hasil kaji ulang dari Journal of
Computational and Applied Mathematics oleh Ji-Huan He yang berjudul Variational Iteration Method-Some Recent Results and New Intrepretations
2007. Diketahui
1 + �
�
− �
2
� = 0, 4.33 dengan syarat batas
�
′
= 0, � 1 = 1 dan � adalah suhu, serta nilai dan ψ
adalah konstan. Dengan menggunakan konsep dari variasi terbatas, maka suatu fungsi
variasional dapat ditentukan sebagai berikut � � = 1 + �
� 2
+ �
2
�
2
,
1
4.34
~ ~
~
dimana � adalah sebuah variasi terbatas dengan nilai �� = 0. Kita tuliskan
kembali persamaan 4.34 dalam bentuk iterasi sebagai berikut � �
�+1
= 1 + �
� �
�+1
2
+ �
2
�
�+1 2
.
1
4.35 Kita mulai dengan perkiraan awal yang memenuhi syarat batas
�
′
0 = 0,
� 1 = 1 yaitu
� = 1
− +
2
, 4.36 dimana a adalah sebuah parameter bebas. Kita menggunakan metode Ritz
untuk menyelesaikan �
1
, fungsi percobaan untuk �
1
diasumsikan menjadi bentuk sebagai berikut
�
1
= 1 − +
2
, 4.37 dimana b adalah sebuah parameter tidak diketahui yang akan ditentukan
nilainya lebih lanjut. Substitusikan persamaan 4.36 ke persamaan 4.34 menghasilkan
� = 4 1 + 1 − +
2 2 2
+ �
2
1 − +
2 2 2
1
=
4 3
1 + 1 −
2
+
4 5
2
+ �
2
1 −
2
+
2 3
1 − �
2
+
1 5
2
�
2
. 4.38
Sekarang, kita menurunkan persamaan 4.38 terhadap b, dengan menetapkan persaman berikut ini
�
= 0. 4.39 Sehingga hasil substitusi dari persamaan 4.38 dan 4.39 menjadi
�
=
8 3
1 + 1 − +
8 5
− 2�
2
1 − +
2 3
1 − 2 �
2
+
2 5
�
2
= 0. 4.40
Agar kita mendapatkan nilai a dari persamaan 4.40, maka ditetapkan �
= �
1
. Kita substitusikan = pada persamaan 4.40, sehingga menjadi
−
16 15
2
+
8 3
+
8 3
+
16 15
�
2
−
4 3
�
2
= 0. 4.41 Persamaan 4.41 dinamakan persamaan kuadratik karena derajat tertinggi
berbentuk kuadrat. Dengan menggunakan rumus abc maka persamaan di atas diperoleh nilai a sebagai berikut
= −
−5−5 −2�
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4
4
. 4.42 Substitusikan secara sederhana dari persamaan 4.42 ke persamaan 4.40
untuk menentukan nilai b sebagai berikut =
5 �
2
5+5 +2 �
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4
. 4.43 Kita sederhanakan persamaan 4.38 untuk memperoleh nilai J sebagai
berikut � =
100 �
4
5+5 +2 �
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4 2
+
100 �
4
5+5 +2 �
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4 2
−
10 �
4
−5−5 −2�
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4
3 5+5 +2 �
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4 2
+ �
2
−
20 �
4
3 5+5 +2�
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4
+
10 �
6
35+5 +2 �
2
+ 25
2
+50 +25+20 �
2
+4 �
4 2
.
C. Contoh-contoh Solusi Metode Iterasi Variasional
