, = − sin +
3 2
.
Solusi
, = −
1
cos + 3
2 2
, = +
2
cos + 2
3
, =
1
2
sin + 6
2
, = +
2 4
sin −
2
3
cos + 2
3
, = −
3
sin +
1
2
cos + 6
2
, = −
3
sin +
1
2
cos + 6
2
. Pada contoh di atas
, = , .
E. Integral Parsial
Pada materi sebelumnya telah dibahas mengenai turunan parsial, maka kita perlu mengetahui pula teknik-teknik dalam integral parsial ini referensi
utama diambil dari buku karangan Nyoman Arcana dkk 1983.
1. Pengintegralan Parsial atau Pengintegralan Sebagian
Metode pengintegralan ini diperoleh dari rumus hitung diferensial dari perkalian dua fungsi, yaitu bila
= . , dan keduanya fungsi dari x maka,
= . + .
. Dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh:
= .
+ .
. Jadi, jika salah satu dari integral pada ruas kanan diketahui, maka integral
yang lain dapat dicari. Kita dapat memilih mengerjakan salah satu dari kedua integral tersebut, yang mungkin atau mudah diintegralkan.
Sebagai contoh, bila . dapat dengan segera diintegralkan, maka
integral yang lain, yaitu u dv dapat dicari, .
= . − . .
Penggunaan metode ini akan menjadi lebih jelas setelah mengikuti contoh- contoh berikut.
Contoh 2.9
Integralkan cos
. Misal
= dan = cos
. Maka
= dan =
cos = sin .
Sehingga cos
= = .
− =
sin − sin
.
Jadi, daripada
mengintegralkan cos
tentu lebih
mudah mengintegralkan
sin , yang segera kita tahu, yaitu
– cos x. Sehingga cos
= sin
+ cos + .
Jika u dan dv dipilih sebagai berikut: Misal
= cos dan =
, maka =
− sin dan =
1 2
2
.
Dengan mensubstitusikan kita peroleh: cos
=
1 2
2
cos +
1 2
2
− sin . Jadi, integral yang timbul lebih sulit dari integral semula.
Jadi, dalam pengambilan u dan dv harus demikian sehingga integral yang timbul kemudian menjadi lebih sederhana.
Contoh 2.10
Integralkan
2
sin .
Seperti alasan yang diberikan pada contoh 1, kita pilih: =
2
dan =
sin , maka
= 2 dan
= − cos .
Sehingga:
2
sin =
= . − .
=
2
− cos − − cos . 2 =
−
2
cos + 2
cos . Dalam contoh ini kita menemukan integral yang tidak dapat diintegralkan
secara pengamatan tetapi telah dikerjakan pada contoh 2.10, yaitu: cos
= sin
+ cos +
1
. Substitusikan ini ke dalam hasil pengintegralan di atas, kita peroleh:
2
sin =
−
2
cos + 2{ sin
+ cos +
1
} =
−
2
cos + 2 sin
+ 2 cos + .
Perulangan seperti ini, yaitu kita kembali mempergunakan integral parsial akan sering kita temukan dalam soal-soal yang lain. Sebagai contoh, jika
3
sin kita cari, proses pengintegralan akan berlangsung tiga kali.
F. Metode Lagrange
