Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua kendala
, , = 0 dan , , = 0, kita pecahkan persamaan- persamaan.
∇ , , = ∇ , , + ∇ , , , , , = 0, , , = 0
untuk x, y, z, λ, dan , dengan λ dan adalah pengali-pengali Lagrange. Ini
setara terhadap pencarian solusi sistem lima persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z
, λ, dan . 2.31
, , = , , +
, , , 2.32
, , = , , +
, , , 2.33
, , = , , +
, , , 2.34
, , = 0, 2.35
, , = 0. Dari solusi sistem ini kita peroleh titik-titik kritis.
G. Metode Newton-Raphson
Pada bahasan mengenai penurunan rumus metode Newton-Raphson secara geometri, referensi utama di ambil dari buku karangan Agus Setiawan
2006 dan Eko Budi Purwanto 2008. Metode Newton-Raphson merupakan metode yang paling banyak
digunakan untuk menentukan akar dan menyelesaikan persamaan diferensial. Dari tebakan nilai akar awal
, dengan nilai fungsi , maka dapat ditarik suatu garis singgung yang melewati titik
; . Garis singgung ini akan
memotong sumbu dan ini merupakan penafsiran akar bagi iterasi berikutnya. Secara geometris hal ini ditampilkan dalam gambar di bawah ini.
Gambar 2.1. Pelukisan grafis dari metode Newton-Raphson.
Gambar 2.1 merupakan gambaran dari pelukisan grafis dari metode Newton- Raphson.
Diambil nilai awal , dan kemiringan slope adalah gradien dari fungsi atau: =
′
=
−
+1
−
+1
, 2.36
jika diasumsikan bahwa
+1
sama dengan akar persamaan maka
+1
= 0. =
′
=
Δ Δ
=
−0 −
+1
.
2.37
Persamaan 2.37 dapat disusun kembali menjadi:
+1
= −
′
. 2.38 Persamaan 2.38 inilah yang disebut rumus Newton-Raphson.
H. Metode Euler
Pada bahasan mengenai metode Euler ini, referensi utama di ambil dari buku karangan Agus Setiawan 2006.
}
+1
Kemiringan = ′
− 0
−
+1
Gambar 2.2. Tafsiran grafis persamaan
+1
= +
�. . Bentuk umum persamaan diferensial biasa
= , . 2.39 Permasalahan penerjun payung yang diselesaikan secara numerik dalam bentuk
= +
× ,
yang dalam notasi matematika dituliskan sebagai
+1
= +
�. 2.40 Menurut persamaan 2.40, kemiringan
� digunakan untuk mengekstrapolasi memperhitungkan nilai baru
+1
dari nilai lama .
Gambar 2.3 Pelukisan grafis dari metode Euler.
Gambar 2.3 merupakan gambaran dari pelukisan grafis dari metode Euler.
+1
asli prediksi
error
}
= �
+1
+1
= +
�.
,
Turunan pertama memberikan estimasi taksiran langsung kemiringan pada lihat gambar 2.3.
� = , . 2.41 Dengan
, adalah evaluasi dari persamaan diferensial
, . Substitusi persamaan 2.41 ke 2.39 menjadi
+1
= + ,
. 2.42 Persamaan di atas merupakan persamaan umum metode Euler.
I. Little-Oh dan Big-Oh
Untuk membantu melengkapi bahasan tentang konsep dasar metode Newton dan deret Taylor maka diperlukan penjelasan singkat mengenai notasi
Little-Oh dan Big-Oh. Referensi ini diambil dari buku karangan Eko Budi Purwanto 2008.
Definisi fungsi merupakan Little-Oh dari fungsi dengan notasi
= jika dan hanya jika terdapat dua buah konstanta bulat positif C dan
sedemikian sehingga berlaku lim
→0
= 0. Notasi Big-Oh didefinisikan bahwa
merupakan Big-Oh dari dan dinotasikan
= jika dan hanya jika terdapat dua buah konstanta bulat positif C dan
sedemikian sehingga berlaku ; ∀
.
40
BAB III METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Pada bab ini akan dibahas mengenai pengantar singkat Persamaan Diferensial Biasa, masalah syarat awal dan syarat batas, deret Taylor, metode
iterasi Picard The Method of Successive Approximations, hubungan antara deret Taylor dengan metode iterasi Picard, contoh-contoh solusi metode iterasi Picard,
penjelasan metode iterasi variasional dan contoh-contoh solusinya, contoh pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB serta metode iterasi variasional untuk PDB
secara umum berderajat satu.
A. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial PD adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan suatu fungsi dengan derivatif-derivatifnya. Jika fungsi yang dicari
mempunyai satu variabel bebas, maka persamaannya disebut Persamaan Diferensial Biasa PDB. Shepley L Ross, 2004
1. Masalah syarat awal dan syarat batas
Pada bagian ini akan disajikan teori tentang masalah syarat awal dan syarat batas yang mendukung pembahasan dari metode iterasi Picard dengan
referensi dari buku karangan Kartono 2012. Perhatikanlah persamaan diferensial linear orde dua,
